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1、对傅立叶变换后图像空间域与频率域中垂直现象的研究【摘要】本文就图像二维傅立叶变换常令人感到困惑的问题进行深入的讨论，并对傅立叶变换后原图和频谱图出现的垂直现象进行分析，同时给出数学证明。【关键词】傅立叶变换；频谱图；垂直现象；图像1引言傅立叶变换是线性系统分析的一个有力工具，是信号处理中最重要、应用最广泛的变换，但遗憾的是很多人可能还是不习惯在频域中思考问题，尤其是面对图像时，空间域、频率域都是二维的，更是对空域、频域的对应关系不甚了解。如何理解傅立叶变换后的频谱图，为何对不同图像进行傅立叶变换后产生的频谱图往往会出现水平和垂直的
2、“亮线”，而对一些规则图像进行傅立叶变换后得到的频谱图往往会在与原图垂直的方向上出现较亮的点或线(如垂直条纹图像，傅立叶变换后会在水平方向上出现一些较亮的点)。这些问题困扰着每个初学者，更让初学者困惑的是，几乎市面上所有有关数字图像处理的书籍都没有给出详细的解释。下面就围绕傅立叶变换以及图像处理中一些经常让人困惑的问题进行深入的讨论。[1]2一维傅立叶变换中的问题讨论一维傅立叶变换是二维变换的基础，下面就先对一些相关的、基本的但又很重要的概念进行讨论。(1)实信号的傅立叶变换————————————————————————————
3、———————————————————就信号处理来说，大家所关心的都是实信号，所以单独对它进行讨论，可以简化工作。下面是大家所熟知的傅立叶变换公式F(?)?????f(t)exp(?2?i?t)dt从定义式不难推出F(?)?*????f(t)exp(2?i?t)dt*所以可得出结论：F(?)?F(??)。这说明实函数的傅立叶变换是实部为偶函数，虚部为奇函数，也就是说：求某一实函数的傅立叶变换时，它的幅度谱总是关于原点对称的，而相位谱左右两边只是差一个负号，即左右互为复共轭。由此可见，就实际应用来讲，无论哪边的频谱都是完备的，并且负
4、频率本身也不具有什么意义，但是当用更为通用的数学方法去对物理过程建模时，保留负频率部分会使分析更加容易。(2)正弦分量的分解1大家知道，任何满足狄里赫利条件的信号都可以通过傅立叶变换表征为一组正(余)弦信号的和或积分，而由图1可以从频域得出这一结论：由于任何实函数的傅立叶变换都是偶函数，所以对于任意一个实信号f(t)，将它的傅立叶变换F(?)在频率域进行抽样时，都能得到无数的抽样脉冲对(见图2)，也即将这些脉冲对累加起来就得到了F(?)，而当脉冲宽度趋于零时，每个脉冲对正好是某个频率的余弦信号的傅立叶变换，这从频率域的角度验证了任
5、何一个实信号都可以看作是由———————————————————————————————————————————————若干个正(余)弦信号以及相应的幅度所组成。图2实信号f(t)及傅立叶变换F(?)通过以上的讨论可得出两个简单的结论：(1)实信号的频谱是对称的；(2)信号在时域和频域中是相互对应的，总是能把实信号看作是由若干不同频率、振幅的正弦波组成。3.图像的二维傅立叶变换3.1二维离散傅立叶变换的定义图像经数字化处理后，可以用二维离散信号f(m,n)表示。对于二维离散信号0,?1,M,?1n?;M?1N?1{f(m,n)
6、m
7、??0,1,N?,，其离散傅立叶变换定义为：muM?nvN))（1）F(u,v)???m?0n?0f(m,n)exp(?j2?(式中u?0,1,?,M?1;v?0,1,?,N?1，称为空间频率。反变换定义为f(m,n)?M?1N?1??F(u,v)exp(j2?(Mm?0n?0mu?nvN))（2）式中m?0,1,?,M?1;n?0,1,?,N?1。2在图像处理时，一般选取图像块为N?N的方阵，即取M?N，这时二维离散傅立叶变换和反变换式：为F(u,v)?——————————————————————————————————————
8、—————————1N1NN?1N?1??m?0n?0N?1N?1f(m,n)exp(?j2?(muN?nvN))（3）及f(m,n)???m?0n?0F(u,v)exp(j2?(muN?nvN))（4）在（3）（4）两式中，u,v,m,n?0,1,?,N?1。本文都是选取N?N的图像进行讨论的。3.2频谱图的理解[2]由（3———————————————————————————————————————————————）式可知图像经傅立叶变换后，往往得到的是复数形式。要直接表示结果就必须用到两幅图像：一幅表示实部，一幅表示虚部。这
9、样表示十分不方便，同时也没有得到有用的信息，因此引入变换结果的模作为值在频谱图中表示出来，以灰度的明暗代表模的大小。作为典型的二维信号，图像的频率相应地也是二维的。其分别对应着图像的像素值在两个相互垂直的方向上变化的情况（如图3.2.1）。根据对一
