人教a版必修四弧度学案

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1、人教A版必修四弧度制学案[学习目标]　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答　规定周角的做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答　l＝，S＝.[预习导引]1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用

2、符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0.(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是

3、α

4、＝.2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝rad≈0.01745rad1rad＝°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π

5、3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝α·R扇形的面积S＝S＝l·R＝α·R2要点一　角度制与弧度制的换算例1　将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.解　(1)20°＝＝.(2)－15°＝－π＝－.(3)＝×180°＝105°.(4)－＝－×180°＝－396°.规律方法　(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：πrad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1　(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成度．解　(1)112°30′＝

6、°＝×＝.(2)－＝－°＝－75°.要点二　用弧度制表示终边相同的角例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°；　(2)；　(3)－4.解　(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋，是第四象限角．(2)∵＝2π＋，∴与终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．规律方法　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2　

7、设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．解　(1)∵180°＝πrad，∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，α2＝750°＝＝＝2×2π＋.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．(2)β1＝＝×180°＝108°，设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°，得k＝－2，或k＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和

8、－252°.β2＝－＝－60°，设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0.故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.要点三　扇形的弧长及面积公式的应用例3　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此

9、时l＝10，α＝2.规律方法　(1)联系半径、弧长和圆心角的公式有两个：一是S＝lr＝

10、α

11、r2，二是l＝

12、α

13、r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数．跟踪演练3　若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为(　　)A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2答案　B解析　∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2