..弧度制学案（人教a版必修）

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1、1.1.2　弧度制自主探究1．角的单位制(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：

2、α

3、＝；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．角度与弧度的互化(1)360°＝2πrad,180°＝πrad.(2)1°＝rad≈0.017_45rad，1rad＝°≈57°18′＝57.30°

4、.3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝αR扇形的面积S＝S＝αR2＝lR我们已经学过弧长公式和扇形面积公式，请写出这两个公式，并根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．解　半径为r，圆心角n°的弧长公式为：l＝，扇形面积公式为S扇＝.∵＝，∴l＝

5、α

6、r.∵＝＝，∴S扇＝

7、α

8、r2.∴S扇＝

9、α

10、r2＝lr.名师点拨1.弧度的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．如图所

11、示，圆O的半径为r，的长为r，∠AOB就是1弧度的角，记为∠AOB＝1rad.注意：可以证明，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关．2．弧度数(1)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是

12、α

13、＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．注意：①使用公式

14、α

15、＝求角α时，得出的是角α的弧度数的绝对值大小，其正负由角α终边的旋转方向决定．②角α与所在圆的半径大小无关，是由比值唯一确定的．③公式中角α是弧度数，不是角

16、度数．(2)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．3．角度与弧度之间的转化一般地，我们只需根据就可以进行弧度与角度的换算了．注意：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示α是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，即sin＝sin60°.典例剖析一、角度制与弧度制的换算例1　(1)把11°15′化成弧度；(2)把rad化成

17、度．分析　先将11°15′化为11.25度，然后乘以rad，即可将11°15′化成弧度.乘以即可化为角度．解　(1)∵11°15′＝11.25°，∴11°15′＝rad×11.25＝rad.(2)rad＝×＝144°.点拨　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可．二、利用弧度制表示终边相同的角例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°　(2)π　(3)－4解　(1)－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋

18、∴－1500°与π终边相同，是第四象限角．(2)π＝2π＋π，∴π与π终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．点拨　在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．三、弧长、扇形面积的有关问题例3　已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？分析　扇形周长等于2个半径2r，加上弧长l，即有：2r＋l＝40.而面积S＝lr，这样可以由l＝40－2r代入S＝lr，从而建立一元二次函数，进一步可以求出最大面积．解　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧

19、长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝＝＝2rad.点拨　灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数最值问题．变式训练1．将下列角按要求转化：(1)π＝________度；　(2)300°＝________rad；(3)－22°30′＝______rad.答案　(1)288　(2

20、)　(3)－2．将－1485°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是______．答案