解析几何中焦点相关的常用结论 - 焦点相关的常用结论

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1、解析几何中焦点相关的常用结论解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定义、正、余弦定理等方法求解，熟练掌握有关结论并能加以灵活运用，将有效提高解题速度。结论1、焦半径公式：F1F2图110设P是椭圆上的一点，则焦半径

2、PF1

3、、

4、PF2

5、的长分别为a±ex0。其中a为长半轴长，e为离心率，x0为点P的横坐标（图1）。20设P是双曲线上的一点，则焦半径

6、PF1

7、、

8、PF2

9、的长分别为ex0±a。其中a为实半轴长，e为离心率，x0为

10、点P的横坐标。证明：对本题的证明只要根据定义，下面以椭圆为例加以证明：设点P到左准线的距离为d，则d=x0+,由第二定义得=e，∴

11、PF1

12、=d·e=(x0+)·e=ex0+a。同理可证

13、PF2

14、=a－ex0。图2结论2、以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径

15、PF

16、为直径的圆（⊙C）与y轴相切（图2）。证明：分别过点P、C、F向抛物线的准线作垂线，垂足记为P1、C1、F1，与y轴交于P2、C2，O，则C到y轴的距离

17、CC2

18、=，而

19、PF

20、=

21、PP1

22、=

23、PP2

24、+

25、P2P1

26、=

27、PP2

28、+

29、FO

30、，∴

31、CC2

32、=，即点C到y轴的距离等于⊙C的半径，∴

33、⊙C与y轴相切。结论3、以抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。第4页共4页证明：分别过点A、B、C向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1、C1，与y轴交于A2、B2，C2，则C到l轴的距离

34、CC1

35、=，由第二定义得：

36、AA1

37、=

38、AF

39、，

40、BB1

41、=

42、BF

43、，∴

44、AA1

45、+

46、BB1

47、=

48、AB

49、，∴

50、CC1

51、=，即点C到准线l的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与准线相切。图3当直线AB斜率存在时，设AB的方程为：y=k(x－),代入抛物线得4k2x2－4p(k2+2)x+

52、k2p2=0,设A（x1,y1）、B（x2,y2）,由韦达定理得x1x2=为定值；而

53、y1y2

54、=·==2p·=p2.∴y1y2=－p2。当直线AB斜率不存在时，易证上式结论成立。结论4、已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的弦的倾斜角为θ（θ≠0），且与抛物线交于A、B，则

55、AB

56、=；且当直线AB与x轴垂直时，

57、AB

58、min=2P（此时称弦AB为抛物线的通径）（图4）。证明：同结论3，分别过点A、B向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1，则

59、AA1

60、=

61、AF

62、，

63、BB1

64、=

65、BF

66、，∴

67、AB

68、=

69、AA1

70、+

71、BB1

72、。设A（x1,y1）,B

73、(x2,y2),则

74、AA1

75、=x1+，

76、BB1

77、=x2+，∴

78、AB

79、=x1+x2+p。当θ≠900时，设直线AB的方程为y=tgθ(x－c),代入抛物线方程得：图4tg2θ·x2－(2p+ptg2θ)x+=0,x1+x2=，∴

80、AB

81、=+p=。当θ=900时，显然

82、AB

83、=2p,符合上式，∴

84、AB

85、=。当θ=900时，

86、AB

87、min=2P，即为通径的长。第4页共4页结论5、设AB是椭圆的焦点弦，则当AB垂直x轴时

88、AB

89、min=。证明略。想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称（或椭圆的长轴）时，弦

90、AB

91、取得最小值，那么在双曲线中是

92、否有相同的结论？结论6、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ（θ≠0）的直线，且与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积S=。证明：由结论4得

93、AB

94、=，点O到直线ABy=tgθ(x－)的距离为d==·

95、sinθ

96、。∴S△AOB=···

97、sinθ

98、=。结论7、P为双曲线上一点，F1、F2为两焦点，且∠F1PF2=α（0<α<π）,则F1F2图5S△F1PF2=b2·ctg（图5）。证明：设

99、PF1

100、=m,

101、PF2

102、=n，则，由（1），两边平方，得m2+n2－2mn=4a2,∴m2+n2=2mn+4a2,代入（2）得2mn+4a2－2mnc

103、osα=4c2,∴mn=。∴S△F1PF2=·mn·sinα=··sinα=b2·ctg。结论8、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”，设第4页共4页是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF=。证明略。结论9、设P是椭圆上的一动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当P位于短轴端点时，∠F1PF2取到最大值。证明：设

104、PF1

105、、

106、PF2

107、的长分别为m,n，则m+n=2a,在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=,而m2+n2=(m+n)2－2mn=4a2－2mn,∴cos∠F1PF2==－1,又mn≤=a

108、2，∴cos∠F1PF2≥－1，当且仅当m=n，即当P点位于短轴端点时cos∠F1PF2取到最