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1、如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主学习（数列）一.知识1.由求,注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要单独列出.如：数列满足，求(答：).2.等差数列(为常数)；3.等差数列的性质：①,；②(反之不一定成立)；特别地,当时,有；③若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列；④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即仍是等差数列；⑤等差数列,当项数为时,,；项数为时,,,且；.⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式(或).也可用的二次函数关系来分析.⑦若,则；若,则；若,则Sm+n=0；S3m=3(
2、S2m－Sm)；.4.等比数列.5.等比数列的性质①,；②若、是等比数列，则、等也是等比数列；③；④(反之不一定成立)；.⑤等比数列中(注：各项均不为0)仍是等比数列.⑥等比数列当项数为时,；项数为时,.6.①如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,则数列是等差数列；②若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列；③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的
3、方法探求其通项；④三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：；三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什么？)7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知(即)求用作差法：.⑶已知求用作商法：.⑷若求用迭加法.⑸已知,求用迭乘法.⑹已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如,,(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.②形如的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式：
4、；；；；常见裂项公式；；；常见放缩公式：.9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），
5、那么每期等额还款元应满足：(等比数列问题).一.及时巩固一、填空题：１.等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3＝．２.已知数列对于任意，有，若，则。３.是等差数列，是其前n项和，则在中最小的是４.在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于135791113151719……５.已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为____６.将正www.ks5u.com奇数排列如下表其中第行第个数表示，例如，若，则．７.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICM
6、E－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为＝．ICME－7图甲OA1A2A3A4A5A6A7A8图乙８.函数由下表定义：x12345f(x)34521若，,则的值９.在数列中，若对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”．下面几个对“等差比数列”的判断正确的是．①不可能是；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为（、均不为或者）的数列一定是等差比数列．１０.已知是首项为a,公差为1的等差数列,，若对任意的，都有成立，则实
7、数a的取值范围是.１. ２.b＜c＜a ３.9 ４. ５.2008 ６.７. ８.－1 ９. ０.２ １０.，，二、解答题：11.设数列的前项和为，且，为等差数列，且，．（1）求数列和通项公式；（2）设，求数列的前项和．..解：（1）当时，．当时，，此式对也成立．．从而，．又因为为等差数列，公差，．（2）由（1）可知，所以．①①2得．②①-②得：．12.已知数列的前n项和为，且．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）若，，求证数列是等比数列，并求数列的前项和．解：（Ⅰ）n≥2时，．n＝1时，，适合上式，∴．（Ⅱ），．即．∴数列是首项为4、公比为2的等比
8、数列．，∴．Tn＝＝．13.设垂直，其
