【数学】浙江温州地区高三二轮复习专题--导数及其应用

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1、导数及其应用温州八中陈杰一.设计立意及思路：导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。正是基于以上的认识，本专题在例题设计上也是逐层递进，而在每一个例题上又注意一题多解和多题一解，并

2、且逐步拓展，使学生能循序渐进的掌握知识和方法，二.高考考点回顾：1.考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。2.近5年全

3、国新课程卷对本章内容的考查情况：科别年份题型题量分值考查内容文科2000解答题114导数在实际中的应用2001解答题112利用导数求函数的单调区间2002解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2003解答题112利用导数求曲线的切线方程2004(浙江卷)解答题112求函数导数。利用导数求最值，解有关单调性问题。理科2000解答题112导数在实际中的应用2001选择、解答题各1题5+12利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。2002解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2003选择、解答题各1题5+12导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间2004(浙江卷)选择、解答题各1

4、题5+12导函数的概念，；利用导数求曲线的切线方程，求函数的最值。三.基础知识梳理：1.导数的有关概念。(1)定义：函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3)几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。2.求导的方法：(1)常用的导数公式：C/=0（C为常数）；(xm)/=mxm-1(m∈Q);(sinx)/=cosx;(cosx)/=-sinx;(ex)/=ex;(ax)/=axlna;.(2)两个函数的四则运算的导数

5、：(3)复合函数的导数：3.导数的运用：(1)判断函数的单调性。当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)>0，则f(x)为增函数；如果f/(x)<0，则f(x)为减函数。(2)极大值和极小值。设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。四.例题讲解：例1.(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；(2)若f(x)在R上可导，且f(x)=-f(x)，求f/(0)。(1)解：如果函数y=f(x)

6、在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比，当时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作。(2)解法一：∵f(x)=f(-x)，则f(△x)=f(-△x)∴当时，有∴∴。解法二：∵f(x)=f(-x)，两边对x求导，得∴∴。评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f/(0)=0。在题

7、（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？例2.设f(x)在点x0处可导，a为常数，则等于()A.f/(x0)B.2af/(x0)C.af/(x0)D.0解：故选(C)评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的导数的定义的掌握。例3.一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。（人教版高三