2017_2018学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.3绝对值不等式的解法学案新人教b版选修

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1、1．3绝对值不等式的解法[读教材·填要点]1．含绝对值的不等式

2、x

3、≤a与

4、x

5、≥a的解集不等式a＞0a＜0

6、x

7、≤a[－a，a]∅

8、x

9、≥a(－∞，－a]∪[a，＋∞]R2．

10、ax＋b

11、≤c(c＞0)和

12、ax＋b

13、≥c(c＞0)型不等式的解法(1)

14、ax＋b

15、≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)

16、ax＋b

17、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3．

18、x－a

19、＋

20、x－b

21、≥c和

22、x－a

23、＋

24、x－b

25、≤c型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．

26、(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解．(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解．[小问题·大思维]1．

27、x

28、以及

29、x－a

30、±

31、x－b

32、表示的几何意义是什么？提示：

33、x

34、的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；

35、x－a

36、±

37、x－b

38、的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．2．如何解

39、x－a

40、＜

41、x－b

42、、

43、x－a

44、＞

45、x－b

46、(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．含一个绝对值不等式的解法[例1]　解下列不等式：10(1)1＜

47、x－2

48、≤3；(2)

49、2x＋5

50、＞7＋x；(3)≤.[思路点拨]　本题考查较简单的

51、绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为

52、ax＋b

53、＞c(c＞0)或

54、ax＋b

55、＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．[精解详析]　(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得－1≤x＜1或3＜x≤5，所以原不等式的解集为{x

56、－1≤x＜1或3＜x≤5}．法二：原不等式可转化为：①或②由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，所以原不等式的解集是{x

57、－1≤x＜1或3＜x≤5}．(2)由不等式

58、2x＋5

59、＞7＋x，可得2x

60、＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，整理得x＞2或x＜－4.∴原不等式的解集是{x

61、x＜－4或x＞2}．(3)①当x2－2＜0且x≠0，即当－＜x＜，且x≠0时，原不等式显然成立．②当x2－2＞0时，原不等式与不等式组等价，x2－2≥

62、x

63、即

64、x

65、2－

66、x

67、－2≥0，∴

68、x

69、≥2，∴不等式组的解为

70、x

71、≥2，即x≤－2或x≥2.∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－，0)∪(0，)∪[2，＋∞)．10含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如

72、f(x)

73、＜a，

74、f(x)

75、＞a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①当a＞0时，

76、f(x)

77、＜a⇒－a＜f(x

78、)＜a.

79、f(x)

80、＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.②当a＝0时，

81、f(x)

82、＜a无解．

83、f(x)

84、＞a⇔f(x)≠0.③当a＜0时，

85、f(x)

86、＜a无解．

87、f(x)

88、＞a⇔f(x)有意义．(2)形如

89、f(x)

90、＜g(x)，

91、f(x)

92、＞g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①

93、f(x)

94、＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)，②

95、f(x)

96、＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．(3)形如a＜

97、f(x)

98、＜b(b＞a＞0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a＜

99、

100、f(x)

101、＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.(4)形如

102、f(x)

103、＜f(x)，

104、f(x)

105、＞f(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即

106、f(x)

107、＞f(x)⇔f(x)＜0，

108、f(x)

109、＜f(x)⇔x∈∅.1．设函数f(x)＝

110、2x－a

111、＋5x，其中a>0.(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x

112、x≤－1}，求a的值．解：(1)当a＝3时，不等式f(x)≥5x＋1可化为

113、2x－3

114、≥1，由此可得x≥2或x≤1.故不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x

115、x≤1或x≥2}．(2)由f(x)≤0得

116、2

117、x－a

118、＋5x≤0，此不等式可化为不等式组或10即或因为a>0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝3.含两个绝对值不等式的解法[例2]　解不等式

119、x＋7

120、－

121、3x－4

122、＋>0.[思路点拨]　先求出零点即x＝－7，，再分段讨论．[精解详析]　原不等式化为

123、x＋7

124、－

125、3x－4

126、＋－1>0，当x>时，原不等式为x＋7－(3x－4)＋－1>0，得x<5＋，即0，得x>－－，即－－