实验二极限与导数

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1、实验二　极限与导数【实验目的】1．了解函数极限、导数的基本概念。2．学习掌握MATLAB软件有关求极限、导数的命令。【实验内容】1．判断极限的存在性2．验证极限3．验证极限4．求数的单调区间及极值【实验准备】1．极限、导数的基本概念数列极限：如果对于，存在正整数，使得当时有。则称为数列的极限，或称收敛于，记为。直观上表示：趋于无穷大时，无限接近。函数极限：如果当时有，则称为函数当时的极限。记为。若仅当且（或）时有，则称为函数当时的右极限（左极限），记为（或）。当且仅当时，当时的极限存在且等于这个值。导数：函数在点的导数的定义为：它反映了在点附近函数的变化率。当时，函数在点附近是上升

2、的，反之时，函数在点附近是下降的，而当时，往往（但不一定）标志函数在点达到局部极大或局部极小。函数在点达到局部极大（或局部极小）的充分条件是且（或）。从几何意义上说，是函数在点切线的斜率。2．求极限、导数的MATLAB命令MATLAB中主要用limit,diff分别求函数的极限与导数。limit(s,n,inf)返回符号表达式当n趋于无穷大时表达式s的极限limit(s,x,a)返回符号表达式当x趋于a时表达式s的极限limit(s,x,a,’left’)返回符号表达式当x趋于a-0时表达式s的左极限limit(s,x,a,’right’)返回符号表达式当x趋于a-0时表达式s的右

3、极限diff(s,x,n)返回符号表达式s对自变量x的n阶导数可以用helplimit,helpdiff查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1首先分别作出函数在区间[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上的图形，观测图形在附近的形状。在区间[-1,-0.01]绘图的MATLAB代码为：>>x=(-1):0.0001:(-0.01);y=cos(1./x);plot(x,y)结果如图2.1图2.1函数的图形根据图形，能否判断出极限的存在性？当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：>>clear;>>

4、symsx;%说明x为符号变量>>limit(sin(1/x),x,0)结果为ans=-1..1，即极限值在-1，1之间，而极限如果存在则必唯一，故极限不存在，同样，极限也不存在。练习2首先分别作出函数在区间[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上的图形，观测图形在附近的形状。在区间[-1,-0.01]绘图的MATLAB代码为：>>x=(-1):0.0001:(-0.01);y=sin(x)./x;plot(x,y)结果如图2.2图2.2函数的图形根据图形，能否判断出极限的正确性？当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATL

5、AB代码为：>>clear;>>symsx;>>limit(sin(x)/x,x,0)结果为ans=1.练习3观测当趋于无穷大时，数列和的变化趋势。例如，当时，计算的MATLAB代码为：>>forn=1:100,a(n)=(1+1/n)^n;,A(n)=(1+1/n)^n;,end在同一坐标系中，画出下面三个函数的图形：观测当增大时图形的走向。例如，在区间[10，400]绘制图形的MATLAB代码为>>x=10:0.1:400;>>y1=exp(x.*log(1+1./x));y2=exp((x+2).*log(1+1./x));y3=2.71828;>>plot(x,y1,'-.

6、',x,y2,':',x,y3,'-');%’-.’表示绘出的图形是点线,’-’是实线结果如图2.3，其中点线表示的图形，虚点线表示的图形。图2.3通过观测可以看到，当增大时，递增，递减。随着的无穷增大，和无限接近，趋于共同的极限.当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：>>clear;>>symsn;>>limit((1+1/n)^n,n,inf)结果为ans=exp(1)。在下面的实验三，我们将用级数求无理数的近似值。练习4（极限的定义和判别）用MATLAB语言来表达推理过程是比较困难的，它必须与实际的数值联系起来，比如无法用无穷小和高阶无穷小的概念，只

7、能用等数职。极限的定义恰恰是用了和等数值的概念，因此不难用程序表述。用函数极限的定义，对于函数，当任意给定一个正数时，有一个对应的正数存在，使得当时，有，则就是在时的极限，如果找不到这样的，就不是它的极限，只考虑左极限时，因必为正数，可去掉绝对值符号。检验左极限是否正确的程序为：>>clear>>disp('A是否是f(xc)的左极限？')>>eps=1.0e-10;%给定计算最小误差>>A=input('A=,例如A=1'),%输入左极限>>xc=input('xc