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1、数学公园http://www.zscsxgy.com极限与导数l高考风向标数学归纳法、数学归纳法应用举例，数列的极限．函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性，闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数．两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式．利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值．l典型题选讲例１求函数在[0，2]上的最大值和最小值.讲解 我们知道，在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得令化简为 解得．当单调增加；当
2、单调减少．所以为函数的极大值．又因为 所以 为函数在[0，2]上的最小值，为函数在[0，2]上的最大值．点评 本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．例２设函数（1）求导数;并证明有两个不同的极值点;（2）若不等式成立，求的取值范围．讲解 （I） 10数学公园http://www.zscsxgy.com因此是极大值点，是极小值点.（II）因又由（I）知代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得点评 本题是２００４
3、年重庆高考第２０题．我们可以看到由于导数的引入，使得三次函数成为高考命题的热点内容之一．例３ 设函数其中常数m为整数． (1) 当m为何值时, ；(2) 定理： 若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-ｍ-m,e2ｍ-m]内有两个实根．讲解 （１）函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且．当x∈(-m,1-m)时, ，f(x)为减函数, f(x)>f(1-m)；当x
4、∈(1-m,+∞)时, ，f(x)为增函数, f(x)>f(1-m)．根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x∈(-m,+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m，故当整数m≤1时，f(x)≥1-m≥0．(２)由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续减函数．， 10数学公园http://www.zscsxgy.com由所给定理知，存在唯一的，而当整数m>1时，类似地，当整数m>1时，函数f(x)
5、=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的，故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根．点评 本题是２００４年广东高考第２１题，试题当中的定理是高等数学中的基本知识，这种给出新的情景，由此来考查学习的潜能，需要读者在复习数学多多重视．例４ （1）求证；（2）求证．讲解 想办法构造函数，妙用导数知识来证明不等式．（1）令，由知，．于是，原不等式等价于．一方面，令，则有，当，有从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有，即得 ．另一面，令，则有，当时，有，从而可以知道，函
6、数在上是递增函数，所以有，即得．综上可知 ．（2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令时，不等式也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得 10数学公园http://www.zscsxgy.com，即 ．点评 本题的解答中构造的函数与２００４年高考全国２压卷题中显示的函数f(x)=ln(1+x)－x没有什么区别．有着高等数学背景的、如同２００４年江苏卷的压轴题相近的不等式证明题似乎是高考命题的又一新的开挖点，昆明市第一次统测21题就是典型例子．例５×过点作
7、曲线（，，）的切线切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；……；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是．（1）求证：，；（2）求证：；（3）求证：（注：）．讲解：（１）为了求切线的斜率，只要对求导数，得．若切点是，则切线方程是．当时，切线过点，即，得； 当时，切线过点，即，得．所以数列是首项为，公比为的等比数列，，．（２）应用二项式定理，得 ． （３）记，则， 10数学公园http://www.zsc
8、sxgy.com两式错位相减，得， ，故 ． 点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神．将函数与数列相综合也是高考命题的一个关注的方向，而数列的不等式证明又是常考不衰的话题．l针对性演练1.的值为（）．A．B.0C．D.12.的值等于（ ）． Ａ． Ｂ．
