导数专题一：极限

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1、专题一：极限1.1数列的极限目标：理解数列极限的概念；会计算一些简单数列的极限。重点：会计算一些简单数列的极限难点：数列极限的理解一、引入：1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第天剩余的木棒长度(尺)；（2）前天截下的木棒的总长度(尺)分析变化趋势.2.观察下面数列的变化趋势共同点：存在常数，当无限增大时，无限接近于。这一类数列统称为“收敛数列”，则为数列的极限。不具备这一条件的数列则为发散数列。如数列，，均为发散数列。定义1：一般地，

2、如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限趋近于），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限．记作，读作“当趋向于无穷大时，的极限等于”“”表示“趋向于无穷大”有时也记作：当时，．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于某个常数”的意义有两个方面：一方面，数列的项趋近于是在无限过程中进行的，即随着的增大越来越接近于；另一方面，不是一般地趋近于，而是“无限”地趋近于，即随的增大而无限地趋近于0.问题：如何用数学的语言描述数列的收敛或发散？收敛或发散的数列有什么样的性质？

3、如果数列收敛，如何求其极限？......对于收敛的数列，当充分大时，充分接近于，即可以充分的小。如数列，观察可得：；此时；即当充分大时，可以充分的小，或要使足够的小，只要让充分大即可。如要使，显然只要；如果要，只要；如果要求，只要，......一般，对于任意小的正数，要使，只要；记，则当时，必有，从而有。定义2：，，当时，若有，则称数列收敛，并且以为极限，记作：（或）。注：①的任意小性，的存在性，且不是唯一的，一般越小，越大；②的图示：以上描述极限的方式称为语言，是对数列极限的精确数学描述，有很高的理论价值，还可以用来讨论验证一些极限问题。二、几个重要极限：（1）；（2）（

4、是常数）；（3）(为常数)。当时，；当或时，不存在。三、典型例题：例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由。（1）1，，，…，，…；（2），，，…，，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；（5）－1,1，－1，…，，…；2.92.72.52.32.12.012.0012.000128.41.7.296.255.254.414.044.0044.00044例2.(1)，（2）若，则的取值范围是。A组练习：1．下列命题正确的是（）1.11.31.51.71.91.991.9991.999921.211.6

5、92.252.893.613.96013.9963.99964①数列没有极限；②数列的极限为0；③数列的极限为；④数列没有极限；A．①②B.②③④C.①②③D.①②③④2.下列数列，不存在极限的是…()A.B.C.－1，1，－1，1，…，(－1)n，…D.1.2函数的极限目标：1.理解当，及，，时函数的极限的概念.2.会求函数在一点处的左右极限．3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想.难点：对函数在一点处的极限与左右极限的关系的正确理解.一、引入：1.我们先来看函数，画出它的图象，或者列表观察.当取正值并无限增大，和当

6、取负值并绝对值无限增大时，函数值的变化趋势.(1)函数的图象：(2)列表:110100100010000100000……10.10.010.0010.00010.00001……-1-10-100-1000-10000-100000……-1-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001……从图中或表中可以看出，当取正值增大时，的值趋于0；当取负值并绝对值增大时，的值也趋于0.2.探讨函数，当无限趋近于2时的变化趋势．当从右侧趋近于2时,记为：;当从左侧趋近于2时，记为：．发现（左极限）,（右极限）,因此有．函数极限的定义:1.趋向于无穷的函数极限概念：(1)当自

7、变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是.记作：，或者当时，.(2)当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记作或者当时，.(3)如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是，记作：或者当时，.注意：存在，表示和都存在，且两者相等.所以中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限中的∞仅有+∞的意义2.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函