正态分布的若干问题及应用

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1、编号：08005110114南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：正态分布的若干问题及应用完成人：xxx班级：2008-01学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：葛玉丽完成日期：2012-03-31目录摘要(1)0引言(1)1正态分布的定义及特征(1)1.1正态分布的定义及密度函数(1)1.2正态分布的特征(2)1.3参数和的作用(3)1.4标准正态分布(4)1.4.1标准正态分布的定义(4)1.4.2标准正态分布的分布函数(4)2正态分布概率的计算(5)2.1标准正态分布概率的计算(5)2.2一般正态分布概率的计算(5)3正态分布概率的应用(6)3.1在理论方面的应用(6)3

2、.2在实际方面的应用(8)参考文献(10)Abstract(10)正态分布的若干问题及应用作者：赵强强指导教师：葛玉丽摘要：介绍正态分布的定义、特征、用途及其在现实生活中的重要意义，并对其适用范围进行探讨，从而揭示正态分布较好的性质，单独突出标准正态分布用特殊到一般的方法说明正态分布的特征，并列举若干正态分布应用实例以揭露其本质突出其在不同领域的应用.关键字：正态分布；标准正态分布；函数；概率0引言正态分布是十九世纪处有德国著名数学家高斯（Gauss）在研究测量误差理论时正式引进，虽然隶莫弗（deMoirre）及拉普拉斯(laplace)早在高斯之前就通过隶莫弗——拉普拉斯极限定理用过正态分

3、布函数，但是，高斯对正态分布的研究卓有成效，因此又成为高斯分布或误差分布，考虑到正态分布是我们常见的一种分布，所以又称为常态分布.正态分布是概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力.生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等.１正态分布的定义及特征1.1正态分布的定义及密度函数若存在非负可积函数，，使随机变量取值于任一空间的概率为，则称具有连续型分布或称为连续性随机变量.称为的分

4、布密度函数，有时简称为分布函数或密度函数.设连续型随机变量的的密度函数为：（1）式（1）中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，是正态分布随机抽取的样本值.则称随机变量服从参数为，的正态分布记作.1.2正态分布的特征对（1）式做全轴的积分：对（1）式求导：（2）显然在处取最大值，且.在对式（2）求导：（3）由式（3）可知在有两个拐点.若令，画出其图像：综上可以得到正态分布密度函数的几个特性：1)函数以为对称轴，且在处取最大值，并且；2)值越大其函数值越小；3)曲线总在轴上方，且曲线与轴之间的面积为1；4)曲线在处有两个拐点.1.3参数和的作用取定=0，分别取画出他们的图像：是位置参数，它的取

5、值决定正态曲线在轴上的位置；取定分别取画出他们的图像：是形状参数，越大曲线越显得矮胖平缓，越小曲线越显得高瘦陡峭.1.4标准正态分布1.4.1标准正态分布的定义称的正态分布为标准正态分布.其密度函数为：（4）随机变量服从标准正态分布，记为.1.4.2标准正态分布的分布函数（5）其表示随机变量的取值在的概率.其几何意义是密度函数从到x与轴所围成的面积.记正态分布的分布函数为.把取不同的值时的的函数值，就得到标准正态分布表.由正态曲线的性质立即可以得出：（6）（7）2正态分布概率的计算2.1标准正态分布概率的计算有正态分布的定义中可知其密度函数为，有此密度函数可推出一般正态分布的概率计算公式：再

6、通过查标准正态分布表计算结果.2.2一般正态分布概率的计算（8）令则（8）式此时边转化成标准正态分布的问题了，可通过查标准正态分布表，计算结果.例1随机变量，求.解当时，当时，当时，当时，上例说明随机变量落在内的概率是0.6826；落在内的概率是0.9545；落在内的概率是0.9973；落在内的概率是0.99993666.实际生活中常说的原则就是因为落在范围内的点的概率为0.9973，几乎包含了所有观测值，所以可以将作为一个界限值.这一结论在实际生活中有重要作用.3正态分布概率的应用3.1在理论方面的应用正态分布在理论方面的应用最主要的还是在概率论与数理统计的发展中的所起到的作用，可以归纳为

7、两个方面：（1）正态分布是一些重要分布的极限.例如泊松分布（Poisson）可以证明：再例如二项分布还有一些分布可以用二项分布和泊松（Poisson）分布来逼近，这就造就了正态分布的特殊地位.概率论中有关随机变量和的分布的极限是正态分布的定理统称为中心极限定理.设随机变量它们的期望和方差都存在.令，若对于一致地有，（9）则称随机变量序列服从中心极限定理.中心极限定理阐明了正态分布与微小因素作用的关系，不但给予