浅谈正态分布及应用

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1、2010-2011-2校选课《数学文化》课程论文浅谈正态分布及应用学院（部）：机械工程学院专业：机械类学生姓名：班级：学号任课教师姓名：职称最终评定成绩2011年5月校选课《数学文化》课程论文摘要正态分布（normaldistribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等,都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常

2、见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量。关键词：高斯分布、特征、转化、医学参考值一、正态分布（一）正态分布的由来正态分布（normaldistribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。正态分布是一个在数学、物理及工

3、程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ=0,σ=1的正态分布。（二）正态分布的特性如下图,正态分布的特征有:(1)曲线关于xμ对称;1(2)当xμ时,f(x)取得最大值;2πσ(3)当x时,f(x)0;(4)曲线在xμσ处有拐点;(5)曲线以x轴为渐近线;(6)当固定σ,改变μ的大小时,f(x)图形的形状不变,只是沿着x轴作

4、平移变换;校选课《数学文化》课程论文(7)当固定μ,改变σ的大小时,f(x)图形的对称轴不变,而形状在改变,σ越小,图形越高越瘦,σ越大,图形越矮越胖.（三）一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在校选课《数学文化》课程论文一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因

5、为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。一般而言，都是应用公式进行转化。（四）一般正态分布与标准正态分布的区别与联系正态分布也叫常态分布，是连续随机变量概率分布的一种，自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布。标准正态分布是正态分布的一种，具有正态分布的所有特征。所有正态分布都可以通过Z分数公式转换成标准正态分布。两者特点比较：(1)正态分布的形式是对称的，对称轴是经过平均数点的垂线。(2)校选课《数学文化》课程论文中央点最高，然后逐

6、渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，再向外弯。(3)正态曲线下的面积为1。正态分布是一族分布，它随随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。标准正态分布是正态分布的一种，其平均数和标准差都是固定的，平均数为0，标准差为1。（4）正态分布曲线下标准差与概率面积有固定数量关系。所有正态分布都可以通过Z分数公式转换成标准正态分布。二、正态分布的应用（一）综述生活中各样各类的问题都可以用正态分布来解决或体现。它主要包含这些方面：1.估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。2.制定参考值范围：（1）正态分布法适用于服

7、从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。3.质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。4.正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时