数值分析全部知识点

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1、Charpter1其中t（字长）是正整数；b一般取为2,8,10和16；C（阶码）是整数，L≤c≤U，L和U为固定整数；称为尾数；数x称为t位b进制浮点数。计算机对数的运算处理1.加减法先对阶，后运算，再舍入；2.乘除法先运算，再舍入。定义1.1设x是准确值，x*是x的一个近似值，称差x*－x为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e*或e(x*)，即e(x*)=x*－x定义1.2称满足的正数e*为近似值x*的误差限。该范围常用表示。定义1.3设x是准确值，x*是x的近似值，称为近似值x*的相对误差，记为e*r或er(x*)，即称满足的正数*为x*的相对误差限

2、。，m为整数，k为不小于正整数n的整数。若有关系式则称近似数x*有n位有效数字。1.已知近似数x*有5位有效数字，试求其相对误差限。解因为x*有5位有效数字，可以设于是有n=5和考虑x*的相对误差故有x*相对误差限为0.5´10-4。若x*有n位有效数字，则有若x*的相对误差则x*有n位有效数字。例1.6为保证某算式的计算精度，要求参与计算的的近似值x*的相对误差小于0.1%，请确定x*至少要取几位有效数字才能达到要求。解先将写成浮点数。因为得到a1=2。假设x*至少要取n位有效数字才能保证相对误差小于0.1%，由定理1.3的1.5式的最小整数n即可。由得，

3、有，故x*至少要取4位有效数字才能达到相对误差小于0.1%的要求。例1.9选用一个数值稳定方法计算数列的直接推导有递推公式故其带有误差的对应计算公式为为考察其数值稳定性，二式相减得该公式由开始，依次可计算出其在每次计算过程中，都将上次计算的误差放大5倍。记则可知：计算In时的误差为初始误差的5n倍！因此该算法不是数值稳定算法。下面采用逆序计算方式给出一个数值稳定的计算公式将转换为该式由开始，依次计算出，其舍入误差关系为这说明，在每次计算过程中，都将上次计算的舍入误差缩小5倍，因此该算法是数值稳定算法。该算法的关键是取计算的初值,这里采用如下定积分估计的方法选

4、取：因为取均值其初始误差为用此做递推计算，依次算出，它们值所有误差会超过。Chapter2则称的收敛阶为p或方法具有p阶敛速,p＝1且C<1时，称方法线性收敛；p>1时称方法超线性收敛。二分法基本思想：利用连续函数零点定理，将含根区间逐次减半缩小，构造点列来逼近根x*。于是当时，由得到说明由二分法产生的数列总是收敛于根x*的,其具有二阶收敛。简单迭代法基本思想：利用对方程做等价变换根不发生变化的特点，将方程等价变形为，获得迭代计算公式由它算出逼近根x*的数列。判别收敛的充分条件。定理2.1设迭代函数满足两个条件1.当时，有；2.，存在常数满足则有1.在中有唯

5、一的不动点;迭代公式对任取，产生的数列都收敛于。证明存在性易证迭代函数。作辅助函数显然。由条件1知由中值定理，至少存在一个，使，即，这说明在上有不动点。唯一性如果在上还有一个不动点，有，利用条件2，有矛盾，这就证明了满足定理条件的在中有唯一的不动点，记为。的收敛性由是不动点、迭代格式及条件2，有注意到，在上式中令，可得，有，因而有定理得证。推论2.1设迭代函数满足1当时，有，定理2.2设是迭代函数的不动点，且在点处连续，则若，迭代局部收敛；若，迭代发散，证明只给出1的证明。由和在点处连续性，存在一个正实数L<1和的某个闭邻域，使时有成立。注意到，当时，由及中

6、值定理有所以时，有，由推论2.1可知迭代产生的数列4对任意都收敛于不动点，故迭代格式局部收敛。例2.4用简单迭代法求方程在附近的根，计算结果准确到4位有效数字。解：令因为，在时，，故原方程在内有唯一的根。将原方程改写得迭代函数。为观察在内的取值，注意到，故在单调下降。由，有。于是有当时，。此外，易得当时由推论2.1，可得迭代格式对任取产生的数列都收敛。由，得计算结果准确到4位有效数字时应有误差限。取进行迭代计算，所以取。注意到本题准确根为1.3688081…，显然以上算出的近似根满足要求。定理2.4设是迭代函数的不动点，m为正整数，且在的邻域内连续，并有关系

7、：，则有产生的数列在上是m阶收敛的，且有（2.9）Newton迭代法基本思想：将函数做线性化处理（即将在某点展开为Taylor级数后，取其线性部分代替），把方程转化为对应的近似方程，再从中构造迭代公式。定理5设，，且在的领域内有二阶连续导数，则Newton迭代格式至少是平方收敛的（Newton不动点方程）。证明由条件知在成立Taylor公式：，在与之间将代入，设，用同除上式两端，并利用Newton迭代公式，整理后可得所以有证毕。定理6设，满足下列3个条件；；存在且不变号。例2.8用Newton迭代法求例2.4中非线性方程在附近的根，计算到。解令考虑区间，由及

8、在内有，满足定理6的条件，要，取，用Newton迭代