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1、第3章线性方程组的解法本章讨论线性方程组=b2。11兀1+%2兀2+・・・+%£a2lxx+a22x2+-^+a2nxn1色內+色2兀2+・・・+%暫=bn的求解问题.线性方程组的矩阵表示Ax=b式中A称为系数矩阵,0称为右端项。数值分析中,线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法(不考虑舍入误差);迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式,然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算,来获得满足精度要求的近似解。迭代法是一种逐次逼近的方法。1线性方程组的迭代解法线性方程组迭代解法有
2、Jocobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法及Sor法等基本思想(与简单迭代法类比)将线性方程组Ax=b等价变形为以构造向量迭代格式x=Bx+g兀仏+i)二+g(1)(2)用算出的向量迭代序列兀,兀去逼近解。1-构造原理(1)Jacobi迭代法将线性方程组的第丫个变元兀用其他n-l个变元表出,可得xi=—(久―ai2x2-a品3纭£)%】X9—(/?9一禺內一色彳“一….一^In^n)a22Jacobi迭代格式:兀$+1)_坷2兀丫)_。]3垮)_•••—。10卩)牙$+1)—@2—a?]彳*)-。23垮)-…-。2”兀丫))^^22(3.6)X(
3、n+l)=丄($-。启)-色2才%…-aJ伙]nn-in—(3)取定初始向量兀⑼二T,代入,可逐次算出向量序列“M屮,护…卅兀⑴,兀⑵,…,兀⑷…,这里兀⑴=岸),兀$),…,兀(1)Gauss-Seidel迭代法Seidel迭代格式:护1)=丄(化_%內伙+1)_%2垮+D_•••—%工T)%例1对线性方程组写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式.3)S0R法SOR法的迭代格式式中参数3称为松弛因子,当3=1时,S0R法就是Seidel迭代法.2.迭代分析及向量收敛1)三种迭代法的向量迭格式对Ax=b,将系数矩阵力作如下分解A=D
4、-L-U_00…0__0~a!2…~ClL=~a21■•■0•■■…0••••••,U=0•■■0•…••••••~Cl2n■■■_~Clnl~an2…0_00…0_则滋R可以写成(D_L_U)x=bJacobi迭代的向量迭代格式x(k+l)=BjX(k}+gjBj=D_(L+U),gj=D'lb.Bj为Jacobi迭代法的迭代矩阵.Seidel向量迭代格式兀的)=Bsx{k}+gsBs=(D-L)~lU9gs=(D-L)~'h.优为Seidel迭代法的迭代矩阵.S0R法的向量迭代格式色=(£>—皿厂[(l—Q)r>+et/],g®=a)(D-a)L
5、Y'b.乞为超松弛迭代法的迭代矩阵。三种迭代格式可写成迭代格式x(z)=B兀⑷+g2)向量收敛定义定义1设向量序列X⑴=(((灯(灯(灯*/***円'兀2,…,兀“丿及向量X=(州,兀2,八°,兀“)都是人中的向量,如果有limx$)=x:,i=12…,〃&TOO(k)*成立,则称兀收敛于X•简记为limf)=x3)范数定义与科学计算中的常用范数定义2设L是数域K上的一个线性空间,如果定义在L上的实值函数戶(兀)满足1)/xWL,有P(x)>0,且P(x)=0ox=0;2)VxeL,AgK,有p(Ax)=Ap(x).3)Vx,yeLf^P(x+y
6、)
7、
8、・
9、
10、p或
11、卜
12、
13、表示范数,而范数POO常记为卜
14、
15、p或
16、卜
17、
18、。这样,上面范数定义中的3个条件常写为I)VxgL,有H>0,且H=O<^x=O;2)VxwZUwK,有M=
19、2
20、-
21、
22、x
23、
24、;3)gL,有
25、
26、x+y
27、
28、<
29、
30、x
31、
32、+
33、
34、y将其与绝对值比较,是否很象?实际上,很多有关绝对值的运算和结论可以平行引进到有关范数的运算和证明问题中。数值分析中常用的线性空间有•n维向量空间Rn=laa=(%,°2‘・・•矩阵空间连续函数空间C[a,b
35、]={f(x)f(x)在[恥]上连续}函数空间C[a,b]是由闭区间[a,b]±所有连续函数组成的集合,其线性运算定义为加法/+g:(/+g)(x)=/(x)+g(x)数乘'(2/)(%)=2-f(x),2为数在这些空间上,数值分析中常用的范数有(1)的向量范数1)Hi=SlxJk=l3)=maxxk0036、
37、A
38、
39、>0,且刑
40、=0oA=0;2)HAwzr“,壮K,有
41、
42、加
43、
44、=阳同
45、;3
46、)VA,BGRnxn,有
47、
48、A+B
49、
50、<
51、
52、A
53、
54、+
55、
56、B
57、
58、;由于线性方程组求