线性代数模拟题12

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1、模拟试题十二（答案一律写在答题纸上，在本试卷上做答无效）一、判断题（每题2分，共20分）1.数域上全体一元多项式按通常的多项式加法和数与多项式乘法,构成数域上的一个线性空间.()2.线性空间为维的,那么任意个向量线性相关.()3.任意线性空间都有非平凡子空间.()4.线性变换总把线性无关的向量组变为线性无关的向量组.()5.同一线性变换在不同基下的矩阵是合同的.()6.如果两个矩阵相似,则行列式相等.()7.满秩的矩阵是可逆的.()8.任意级正定矩阵都可以作为一个维欧氏空间的一个度量矩阵.()9.欧氏空间中,

2、从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是对称矩阵.()10.对于任一个级实对称矩阵,存在级正交矩阵,使为对角形矩阵.()二、填空（每题2分，共20分）1.线性空间中,从一组基到另一组基的过渡矩阵为,那么从到的过渡矩阵为.2.在线性空间中,子空间和的直和是5维的,是2维的，那么是维的.3.数域上全体级对称矩阵组成的线性空间是维的.4.线性变换在某基下的矩阵为,向量在此基下的坐标为,那么的坐标是.5.如果3级矩阵的特征值为那么所相似的对角矩阵是6.6维线性空间的线性变换的值域与核的维数相等，这个维数是7.如

3、果矩阵的行列式因子为那么的不变因子是.8.如果数字矩阵的不变因子是那么的若尔当标准是.59.欧氏空间中,基的度量矩阵为,的坐标为,,那.10.设,为正交变换,那么.三、解答题（每题10分，共40分）1.在中,求由基到基的过渡矩阵,并求向量在下的坐标.1.求矩阵的特征值和特征向量.2.求矩阵的若尔当标准形和有理标准形.3.求中下列3个向量的任意两个不同向量的内积及各个向量的长度:.四、证明题（每题10分，共20分）1.在中，证明：.2.设是级实对称矩阵，且，证明正交阵，使得：5模拟试题十二答案一、判断题（每题2

4、分，共20分）1.√2.√3.×4.×5.×6.√7.×8.√9.×10.√二、填空题（每题2分，共20分）1.；2.3;3.;4.;5.;6.3;7.;8.;9.3;10.6.三、解答题（每题10分，共40分）1.解：因为…………………2分则过渡矩阵为；………………………3分于是……………………………………………2分则在下的坐标为…………………3分2．解：特征值为.………………………3分解方程组即,………………………2分基础解系为所以属于的特征向量为.………………………2分5解方程组即,基础解系为所以属于的

5、特征向量为.………………………3分3解:,显然,,…………………3分故………………………2分初等因子为………………………1分故若尔当标准形为………………………2分有理标准形为………………………2分4．解:………………………5分………………………5分四、证明题（每题10分，共20分）1.证明:……………………2分……………………2分………3分………2分2．证明:设是级实对称矩阵的特征值，是其相应的特征向量，………2分又………3分………2分5即因为是级实对称矩阵，故存在正交阵，使得.………3分5