预测战争模型 微分方程组的解

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1、案例预测战争模型1.1问题描述11.2分析与建模11.3模型求解21.4模拟求解51.4.1运行情况1（a=0.4,b=0.10，delta_t=0.3）51.4.2运行情况2，a=0.15;b=0.1;delta_t=0.05;71.4.3运行情况3，a=0.15;b=0.1;delta_t=0.001;81.4.4求解程序101.1问题描述在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester提出了预测战争结局的数学模型。根据战争的不同特性，他给出了三种作战模型。在建立模型时，简化了许多因素，模型变得简单，但仍有一定的实际意义。现考虑X、Y两方孤立交战的部队，双方均无增援部队的情况

2、。希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？4.战斗的持续时间。1.2分析与建模假定X部队t时刻存活的士兵数为x(t)，而Y部队在t时刻存活的士兵数为y(t)，将x(t)与y(t)都看作连续变量。并假定双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，即不考虑俘虏和伤员。关于双方的作战伤亡情况，一种合理的假设是，在Δt时间内，X部队被杀死的士兵数Δx将取决于Δt的长短，以及在Δt起始时刻与其交战的Y部队的士兵数。假定是一种正比关系，即Δx=－ayΔt其中a是一个常

3、数，，代表了Y部队的战斗力，称为“杀伤率”，更明确地说，a是Y部队的一个士兵在单位时间内杀死X部队的名士兵数。类似地，对于Y部队有Δy－axΔt令Δt0，得到两个微分方程(a>0)(b>0)从而得到联立微分方程组如下：(6.3.4)1.1模型求解对联立微分方程组(6.3.4)中的任一方程进行积分，直接求出方程的解是很困难的也无必要。根据作战的实际背景，可以分析出以下几点：方程组里的变量满足x≥0，y≥0，有唯一平衡点（0，0）；x(t)，y(t)都是递减函数，且随着x，y的减小，其衰减速度也在降低。在我们的模型中，若有一方部队的士兵数为零，就标志着战斗的结束。将两个方程相除消去时间

4、变量t，得可分离变量对两边积分得到或者代入初始条件，有（6.3.5）在相平面（xy平面）上，轨线是双曲线的一部分，如图6.3.1所示。为预测何方部队获胜，将剩下多少士兵，先考虑一种特殊情况。战斗开始时双方投入兵力满足，解曲线方程（6.3.5）化为或方程的轨线是一条过原点，斜率为的直线，称为等战斗力直线。这种情况下，战斗将无情地从（x0，y0）点进行到（0，0）点，表明这是一场势均力敌的，导致相互毁灭的战争。若，可从相位图观察到点（x0，y0）位于等战斗力直线的左上方，可以判断Y部队将获胜，在轨线方程中令y=0可以验证这个结论，若令x=0,得，即为根据模型预测出的Y部队获胜时的幸存士

5、兵数。如果战败的一方希望转败为胜，那么开始他们应投入多少兵力呢？现假设双方初始兵力分别为x0=10000，y0=5000，，假设在一个小时（单位时间）内每个Y部队的士兵杀死0.15个X部队士兵，而X部队的每个士兵在一个小时内杀死0.1个Y部队士兵，则方程组（6.3.4）为（6.3.6）由于，，有，模型预测X部队将获胜，Y部队若要获胜最初投入兵力y0必须满足，即应满足：或y0>8165。怎样估算战斗的持续时间不太容易，现在先不去求解方程组，用分析方法做出估计。有，意味着战斗开始时Y部队的士兵以每小时1000人的速度被歼灭，如果一直持续这种速度，仔细思考实际情不会如此，因为X部队的士兵

6、数也在减少，故战斗至少持续5000/1000=5（小时）。战斗结束时X部队余下的士兵数为名。此时，Y军队士兵被歼灭的速度为这是Y部队士兵被歼的最慢速度，若保持不变，有y=－790.1t+5000,令y=0,解得t=5000/790.1≈6.32小时，应为Y部队被歼灭的最长时间。分析结果表明，战斗会持续5～6.32小时，取中间值约为5.7小时。通过求解微分方程组可得到确切的答案。将方程组（6.3.6）的第一个方程两边微分，得把其中的第二个方程代入第一方程，有二次积分得到方程的解为，t≥0，（6.3.7）其中A和B是积分常数，代入初始条件x0=10000，y0=5000，并令t=0,有

7、A+B=10000（6.3.8）对解函数（6.3.7）两边求导，t≥0因（6.3.9）联立求解（6.3.8）和（6.39），解得A≈1938.14，B≈8061.86。在任意时刻Y军队的士兵数为，t≥0，令y=0，算得，解得t≈5.82小时，证明我们前面估算的战斗持续时间相当准确。前面已得出Y部队要赢得这场战斗，开始时必须再增加3165名士兵。假定战斗开始后的某个时刻到达增援部队（如空降伞兵），设在任一时刻使Y部队战斗力发生改变从而赢得胜利所需的增援人数为N，则可以算