下篇数学物理方程

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2016.11)Chapter9DeterminatesolutionproblemofequationsYLMa@Phys.FDU下篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数Chapter9数学物理方程的定解问题Abstracts:1.根据物理问题导出多变量数理方程—偏微分方程；2.给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)和周期条件等，从而与数理方程一起构成定解问题；3.数理方程的线性性导致解的叠加原理;4.非齐次方程的齐次化方案。一、数理方程的来源

2、（状态描述、变化规律）1.翻译I．ClassicalNewtonMechanics[质点力学](Newton)，连续体力学II.ElectrodynamicMechanics(Maxwellequations)III.StatisticMechanics(Boltzmann-Gibbsstatistics):特别:稳态（）:(Laplaceequation).IV.QuantumMechanics:Schrdinger’sequation(Schrdinger,Heisenberg,Dirac,Fermi,Einstein)19MethodsofMathemati

3、calPhysics(2016.11)Chapter9DeterminatesolutionproblemofequationsYLMa@Phys.FDU2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程双曲线输运方程抛物线稳态方程Laplaceequation椭圆型一、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：(1)定变量：找出能够表征物理过程的物理量作为未知数（特征量,科学思维上设为已知），并确定影响未知函数的自变量。（2）立假设：抓(取)主要因素，舍（弃）次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理乐趣；大胆假设，小心求证）。（3）取局部：从研究物体内部中找出

4、微小的局部（微元），相对于此局部的一切高阶无穷小量均可忽略---线性化。（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。1．弦的横振动方程（1+1D）[一根张紧(interactionbetweenparticles)的柔软弦的微小横振动问题](1)定变量：取弦的平衡位置为轴。表征横振动的物理量为各点的横向位移，故速度为和加速度为.(2)立假设：1）弦的横振动是微小的，，因此，，，又，19MethodsofMathematicalPhysics(2016.11)Chapter9

5、DeterminatesolutionproblemofequationsYLMa@Phys.FDU.2)弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连—最简单的相互作用！)。3)所有外力都垂直于轴，外力线密度为.4)设（细长）弦的线密度为，重力不计。(3)取局部：在点处取弦段,是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质量：.弧长：（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度不随时间变化，另外根据Hooke定律可知，张力也不随时间变化，我们把它们分别记为和.(4)找作

6、用：找出弦段所受的力。外力：，垂直于轴方向；张力变化：,方向紧绷，,垂直于轴方向。(5)列方程：根据牛顿第二定律，因方向无位移，故.即，其中是单位质量所受外力。如果弦是均匀的，即为常数，则可写为弦振动的传播速度，则19MethodsofMathematicalPhysics(2016.11)Chapter9DeterminatesolutionproblemofequationsYLMa@Phys.FDU.对于自由运动，即无源，这个方程简化为齐次方程：.在有界实空间的适当边界条件下，通过分离变量和求解本本征值问题，得到与啊相关的本征值，再与实验频率相比较，即可求得

7、材料的怎么运动：源（非齐次）驱动或边界驱动和初始驱动。1．杆的纵振动方程（1+1D）[一根弹性(linearinteractionbetweenparticles)均匀细杆的微小纵振动问题](1)定变量：取细长杆的放置为轴。表征纵振动的物理量为各点离开平衡位置的纵向位移.(2)立假设：1)振动方向与杆的方向一致。2)均匀细杆，同一横界面上各点的质量密度，横截面面积与杨氏模量（应力与应变之比值）都是常量（常数）。3)杆有弹性，服从Hooke定律：应力与相对伸长成正比，即,其中:单位横截面上的内力（相互作用），方向沿轴正方向，但是力是沿该截面法向（外向）的。施给截面的

8、力（拉力）