下篇 数学物理方程.doc

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1、下篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数Chapter9数学物理方程的定解问题Abstracts:1.根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2.给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；３.方程齐次化；４.数理方程的线性性导致解的叠加原理。一、数理方程的来源（状态描述、变化规律）1.翻译I．ClassicalNewtonMechanics[质点力学](Newton)连续体力学II.ElectrodynamicMechanics(M

2、axwellequations)III.StatisticMechanics(Boltzmann-Gibbsstatistics)：特别:稳态（）:(Laplaceequation).IV.QuantumMechanics:Schrdinger’sequation(Schrdinger,Heisenberg,Dirac,Fermi,Einstein)2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程双曲线输运方程抛物线稳态方程Laplaceequation椭圆型一、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征

3、物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。1．弦的横振动方程（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）定变量：取弦的平衡位置为轴。表征振动的物理量为各点的横向位移，从而速度为，加速度为.立假设

4、：1）弦振动是微小的，，因此，，，又，.2)弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)。3)所有外力都垂直于轴，外力线密度为.4)设弦的线密度（细长）为，重力不计。取局部：在点处取弦段,是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质量：.弧长：（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度不随时间变化，另外根据Hooke定律可知，张力也不随时间变化，我们把它们分别记为和.找作用：找出弦段所受的力。外力：，垂直于轴方向；张力变

5、化：,方向紧绷，,垂直于轴方向。列方程：根据牛顿第二定律，因方向无位移，故.即，，其中是单位质量所受外力。如果弦是均匀的，即为常数，则可写为弦振动的传播速度，则.自由运动():(齐次方程)。怎么运动：非齐驱动或边界驱动。1．杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）定变量：取细长杆的放置为轴。表征振动的物理量为各点离开平衡位置的纵向位移.立假设：1)振动方向与杆的方向一致。2)均匀细杆，同一横界面上各点的质量密度，横截面面积与杨氏模量（应力与应变之比值）都是常数。3)杆有弹性，服从Hooke定律：应力与相对伸长成正

6、比，即,其中:单位横截面上的内力，方向沿轴正方向，但力沿该截面法向（外向）。施给截面的力的方向：；同理为中施给截面方向的力，其方向:（这种取法类似于紧绷弦的受力分析）。4)外力与杆的方向一致，各点单位横截面上的外力为，重力不计。取局部：在点处取杆段,是如此之小，以至可以把它看成质点。质量：.绝对伸长：,相对伸长：（应力）。找作用：找出杆段所受的力。外力：；应力变化：.列方程：根据牛顿第二定律即，，其中.令为杆振动的传播速度，则.自由振动：齐次方程;受迫振动：非齐次方程。注意：杆中应力与相对位移成正比，因而做纵振动；虽然弦

7、中位移在轴方向为零，但是粒子之间的相互作用力即张力使得弦紧绷着，因而做横振动。1．薄膜的横振动方程(不要求)（张紧的柔软膜的微小振动问题）定变量：各点的横向位移，从而速度为，加速度为.立假设：1)膜是柔软的，即在它的横界面内不产生应力，膜上任一点的表面张力必在过这一点的切平面内。2)膜振动是微小的，张力的仰角，因此，.3)所有外力都垂直于面，外力面密度为.4)膜是均匀的，即，密度为常数。取局部：在点处取一小块模，质量：.找作用：找出膜所受的力。外力：，垂直于面；张力变化：,列方程：根据牛顿第二定律，即，其中.令，则.应力

8、张量，其中是作用于垂直于轴的平面上的力，其方向沿轴，如是面上沿轴的力刚体,转动惯量张量,为对的转动惯量,为惯量积。1．热传导方程定变量：点在时刻的温度为（热量无法直接测量）。立假设：1)物质密度，比热均已知。2)物质内部的热源强度—单位时间单位体积内产生的热量。3)物质内部热交换过程能量守恒，遵从Fourier定律（