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1、数学物理方程小结第七章数学物理定解问题数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。§7.1数学物理方程的导出一般方法：第一确定所要研究的物理量u,第二分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律,抓住主要矛盾,忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三然后再把物理量u随时间，空间的变为通过数学算式表示出来,此表示式即为数学物理方程。（一）三类典型的数学物理方程（1）波动方程：此方程适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.）（2）输运方程：此方程适用于热传导问题、扩散问题。16（3）Laplace方程：稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方
2、程为Laplace方程,静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace方程。§7.2定解条件定解条件包含初始条件与边界条件。（1）初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件,一般选初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace方程没有初始条件。（2）三类边界条件第一类边界条件：u(r,t)
3、Σ=f（1）第二类边界条件：un
4、Σ=f（2）第三类边界条件：(u+Hun)
5、Σ=f（3）其中H为常数.7.3二阶线性偏微分方程分类判别式波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆
6、型的.167.4达朗贝尔公式对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为对半无界问题作延拓处理:对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章分离变量法8.1分离变量法主要步骤:1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.•2.分离变量u(x,t)=X(x)T(t)（1）[以后对三维问题也是如此]•3.将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程,(称为本征方程)而λ为本征值.•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.•6.再由初始条件确定系数.一维波
7、动方程在第一类齐次边界条件下的16一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:16一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.8.2非齐次边界条件的处理常用方法有1)直线法:对边界条件为:u(0,t)=g(t),u(L,t)=h(t).令,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次.•只有当g,h为常数时,方程才不变.2)特解法•把u化为两部分,令u=v+w使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.
8、•例题求解下列定解问题•Utt－a2Uxx=0•U
9、x=0=0,U
10、x=L=ASinωt•U
11、t=0=0,Ut∣t=0=0•(其中A、ω为常数,0＜x＜L,0＜t）•解：令u=v+w,使w满足波动方程与非齐次边界条件,16•得出第九章二阶常微分方程的级数解法本征值问题一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.1.拉普拉斯方程在球坐标下的通解:其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.在轴对称时(1)式退化为2.拉普拉斯方程在柱坐标下:16(5)式其解为m阶Bessel函数,解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时,μ<0.对应的解是虚贝塞
12、尔函数.3）亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.在球坐标下:其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.在柱坐标下:.(5)式其解为m阶Bessel函数,二、常微分方程的级数解法161.掌握常点邻域的级数解法.2.掌握正则奇点邻域的级数解法.3.知道无穷级数退化为多项式的方法.三.知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0),Sturm-Livouville方程共同性质为:•1)当k(x),k’(x)和q(x)连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:2)所有本征值λn≥03)对应于不同本
13、征值的本征函数带权正交4)本征函数族构成完备系第十章球函数1.轴对称的球函数当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.此时球函数Y(θ,φ)就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl(cosθ)1)勒让德多项式1.勒让德多项式级数形式:162.勒让德多项式微分形式:3.前几项为:P0(x)=1,P1(x)=x=cosθ,•P2(x)=(3x2-1)/2,….•一般勒让德多项式的幂次取决L•当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂
