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1、第六章点的运动学第一、二节矢量法直角坐标法重点:点的曲线运动的直角坐标法,点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影难点:点的曲线运动的直角坐标法一、运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括:运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义:首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体,固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确:瞬时和时间间隔
2、。运动学所研究的力学模型为:点和刚体。二、点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法,即:矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时,在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线,称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度,以及它们之间的关系。三﹑矢量法1、点的运动方程如图,动点M沿其轨迹运动,在瞬时t,M点在图示位置。由参考点O向动点M作一矢量=,则称为矢径。于是动点矢径形式的运动方程为显然,矢
3、径的矢端曲线就是点运动的轨迹。参考体用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。2、点的速度如图,动点M在时间间隔△t内的位移为则表示动点在时间间隔△t内运动的平均快慢和方向,称为点的平均速度。当△t→0时,平均速度的极限矢量称为动点在t瞬时的速度。即即:点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿轨迹的切线方向。3、点的加速度如图,动点M在时间间隔△t内速度矢量的改变量为则表示动点的速度在时间间隔△t内的平均变化率,称为平均加速度。当△t→0时,平均加速度的极限矢量称为动点在t瞬时的加速度。即即:点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数,也
4、等于它的矢径对时间的二阶导数。四、直角坐标法1、点的运动方程如图,在参考体上建立直角坐标系。则这就是直角坐标形式的点的运动方程。由运动方程消去时间t可得两个柱面方程:这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹,上式称为动点的轨迹方程。2、点的速度在直角坐标轴上的投影由图可知,动点的矢径为将上式两边对时间求导,可得将动点的速度表示为解析形式,则有比较上述两式,可得速度在各坐标轴上的投影这就是用直角坐标法表示的点的速度。即:点的速度在直角坐标轴上的投影,等于点的对应坐标对时间的一阶导数。3、点的速度在直角坐标轴上的投影若已知速度的投影,则速度的大
5、小为其方向余弦为4、点的加速度在直角坐标轴上的投影由于加速度是速度对时间的一阶导数,则将动点的加速度表示为解析形式,则有比较上述两式,可得加速度在各坐标轴上的投影这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即:点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数,也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影,则加速度的大小为其方向余弦为例1、杆AB绕A点转动时,带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动,已知(为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解:建立如图所示的直角坐标。则即即为小环M的运动方程
6、。故M点的速度大小为其方向余弦为故M点的加速度大小为且有加速度的方向如图。例2、半径为的圆轮在地上沿直线匀速滚动,已知轮心的速度为试求轮缘上一点的运动方程﹑轨迹﹑速度和加速度(演示图轮在地面上纯滚动)解:建立直角坐标如图,时点位于点点的运动方程:其中,即轨迹为摆线(可演示轮子运动时,点的轨迹画出来)速度:可知(如图)当时,即点接触地时加速度:即点的加速度大小为常量,方向恒指向轮心MMjRoj本章介绍研究动点运动的三种方法,即矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时,在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线,这条曲线成为点的运动轨迹。点的
7、运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。点作运动就是点的位置随时间变化。表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程,本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度,以及它们之间的关系。第三节自然法重点:点的曲线运动的自然法,点沿已知轨迹的运动方程,点的切向加速度和法向加速度。难点:矢量求导及自然轴系的概念。自然坐标法1、运动方程前提:点的轨迹已知显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立:在轨迹上确定O点,规定“+”,“-”点位置确定:弧坐标S设动点M的运动轨迹如图。当动点运动时,弧坐标随时间t连续变
8、化,且为时间t的单值连续函数,即这就是自然坐标形式的点的运动方程。2、曲率和曲率半径图示空间曲线,表明曲线在弧长内弯曲的程度。称为的平均曲率。当M′点趋近于M点时,平均曲率的极限值就是曲线在M点的曲率,即M
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