由一道中考题谈线段取值范围的确定

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1、由一道中考题谈线段取值范围的确定由一道中考题谈线段取值范围的确定江苏省泰州市九龙实验学校田锁勤此文发表在2011年第12期《数理化学习》每年的中考题颇受大家关注．笔者今年批阅最后一道中考题，即所谓压轴题．该题是关于直角坐标系中正方形的运动问题，其(1)(2)两小题入口较宽，学生得分率较高，第(3)小题是探讨点到直线的距离的取值范围，即线段取值范围的确定．由于平时教学中很少涉及这类问题，对学生来说是难点．本文通过对这道题的探究，谈谈怎样确定线段的取值范围．（2011年江苏泰州卷28题）如图1，在平面直角坐

2、标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．解法1：由于点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴正半轴上运动，所以运动情况如下图所示：其中图1-1、图1-

3、3、图1-5为特殊情况分别过点P向x轴作垂线，垂足为M，则PM的长即为h，易得图1-1、图1-5时，h=EMBEDEquation.3；图1-3时，h=EMBEDEquation.3．由图1-1到图1-3可知，h逐步变大，再由图1-3到图1-5可知，h逐步变小．所以图1-1和图1-5中h为最小；图1-3中h为最大．而点A、点B运动过程中不与原点O重合，故h的取值范围是：EMBEDEquation.3．评析：点A、点B是动点，自然想到要找特殊的临界点，画出各临界点之间的图形，观察h的变化情况，从而得出h的

4、取值范围．事实上，我们这是用数学实验的方法，画个草图，通过观察就确定了线段的取值范围．该方法形象直观，是解决动态问题好方法．解法2：如图2，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，交AB于点N；过点P作PG垂直于AB，垂足为G．PM的长即为h的值，易得EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3．因为在Rt△PMA中，∠PMA=900，，所以EMBEDEquation.3，即EMBEDEquation.3①同样在Rt△PGN中，∠PGN=900，所以EMBEDEquation.3．而EMBE

5、DEquation.3，所以EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3②综合①、②得EMBEDEquation.3又由于点A、点B运动过程中不与原点O重合，所以EMBEDEquation.3，而PM可以等于PA．所以EMBEDEquation.3．评析：从反映运动过程中的一般情况的图形入手，将PM放入两个直角三角形中，其中一个是直角边，另一个比斜边还要大，利用直角三角形中直角边与斜边的大小关系确定PM的取值范围，再根据题意讨论两边是否含等于，从而得解．该方法简洁明了，大多数学生能够理

6、解．解法3：如图3，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，则PM的长就是h的值．在Rt△PMA中，∠PMA=900，所以EMBEDEquation.3．由题意可知，在整个运动过程中有EMBEDEquation.3，所以EMBEDEquation.3，得EMBEDEquation.3，所以EMBEDEquation.3，即EMBEDEquation.3．评析：由题意作出垂线，便会出现直角三角形，从而可用锐角三角函数的相关内容将变化的PM用不变的PA表示出来，再由角的大小变化范围及锐角三角函数的单调性最终确定h

7、的取值范围．该方法比较精妙，它将无明显特征的变量转化成常量和有明显特征的变量，思路清晰，目标明确．利用锐角三角函数的单调性求取值范围也不失为一个好方法．但锐角三角函数的相关内容在初中阶段要求不高，只有到高中才会系统地学习并加以应用．所以该解法必须具备较好的三角函数基础．解法4:如图4，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，则PM的长即为h的值．由第(2)小题得∠POM=450，故有EMBEDEquation.3．取AB的中点G，连接PG、OG．易证△PBA和△BAO是直角三角形，∠BPA=∠BOA=900，

8、，又因为G为AB中点，所以EMBEDEquation.3，在△POG中，EMBEDEquation.3，即EMBEDEquation.3，所以EMBEDEquation.3．当点O、G、P在一线直线上时，有EMBEDEquation.3，所以EMBEDEquation.3．①在△POA中，∠POA=450，∠PAO=∠BAO+∠PAB=∠BAO+450，，EMBEDEquation.3，所以EMBEDEquation.3，即EMBEDEqu