数学与应用数学专业常微分方程试题.doc

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1、数学与应用数学专业常微分方程试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程所有常数解是　　　　．2．方程的基本解组是．3．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　　　．4．函数组在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．5．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）7.方程过点共有（）个解．　　（A）一（B）无数（C）两（D）三8．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1（C）+1

2、（D）+29．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解10．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（）．（A）必为（B）必为（C）必为（D）将因解而定三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.12.13.14．15．四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程的通解．17．求下列方程组的通解．五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．在方程中，已知，在上

3、连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．19．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．试题答案及评分标准一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2．3．，（或不含x轴的上半平面）4．充分5．没有二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．B8．A9．C10．D三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解：令，则，代入原方程，得，（2分）当时，分离变量，再积分，得（4分）（5分）即通积分为：（6分）12．解：对应齐次方程的通解为（2分）令非齐次方程的特解为（3分）代入原方

4、程，确定出（4分）再求初等积分得（5分）因此原方程的通解为+（6分）13．解：积分因子为（3分）取，则原方程的通积分为（5分）即（6分）14．解：令，则原方程的参数形式为（2分）由基本关系式，有（4分）积分得（5分）得原方程参数形式通解为（6分）15．解：原方程是恰当导数方程，可化为（2分）于是积分得（4分）分离变量得（5分）积分得通积分为（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应的齐次方程的特征方程为：（1分）特征根为：（2分）故齐次方程的通解为：（4分）因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为（6分）代入原

5、方程，有，（7分）可解出．（8分）故原方程的通解为（10分）17．解：方程组的特征方程为即（1分）特征根为，（2分）对应的解为（3分）其中是对应的特征向量的分量，满足（4分）可解得．（5分）同样可算出对应的特征向量分量为．（8分）所以，原方程组的通解为（10分）五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．证明：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．（2分）显然是方程的两个常数解．（4分）任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿

6、过，否则与惟一性矛盾,故该解的存在区间必为．（10分）19．证明：由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．（2分）显然，该方程有零解．（5分）假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有=0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件=0，于是由解的惟一性，有．这与是非零解矛盾．（10分）