第四章矩阵力学基础表象理论

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1、第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示(1)坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。以一维的x坐标为例。算符本征方程是(4-1-1)本征函数是量子态总可按x的本征函数系展开，得（4.1.2）展开系数必就是该量子态在x表象的表示，即波函数。(2)动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。以动量算符为例，其本征态为：(4.1.3)将量子态按展开(4.1.4)C(px)就是动量表象中的波函数。这正是第二章中已

2、熟知的结果。动量表象也可以用动量为自变量表示。在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数（4.1.5）在动量表象中的波函数也可以用类似于(4.1.2)式的方式给出。(3)任意表象设有某一线性厄米算符。为叙述方便起见，假定算符具有分立本征值谱。它的本征方程为(4.1.6)将波函数按算符的正交归一本征函数系展开（4.1.7）展开系数{an(t)}就是波函数必在Q表象中的表示。它可由的正交归一性推出。将(4.1.7)式两边分别乘并对空间积分，得(4.1.8)an(t)的物理意义是：当体系处

3、在以(r,t)所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。因此我们可以用一组系数{(t)}代替户(,t)来描述该状态。将数列a1(t)，a2(t)，…，an(t)，…写成一个列矩阵，则(r,t)在Q表象的表示为（4.1.9）它的共轭矩阵是（4.1.10）归一条件是（4.1.10）(4.1.9)式是波函数在Q表象中的表示。现在对上述态的表象表示作些说明：(i)希尔伯特空间，空间的维数等于完备、正交、归一的本征函数系中本征函数的个数，它可以是有限维的，也可以是无穷维的，而且空

4、间的基底既可以是个实向量也可以是个复函数。态矢量是个复矢量。(ii)刚好是的本征态，满足(4.1.11)由于已归一，故有,代入(4-1-8)式，得（4.1.12）(iii)本征谱连续，则相应的表示式为(4.1.13)(4.1.14)(4.1.15)波函数在表象中用相应的连续的列矩阵表示。(iiii)，可以给出下述对应关系量子态希尔伯特空间中的态矢量；波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或用函数表示；任意算符的本征函数系表象的基；不同表象不同基，不同坐标系；本征函数基矢；厄米算符的本征函数系一组完备的基矢

5、2．算符的表象表示假定在原来的x表象中，波函数经算符作用后变为另一波函数，即（4.1.16）只是x的函数。将及分别按{}展开（4.1.17）（4.1.18）则在表象中，态和分别由{}及这两个列矩阵表示。将（4.1.17）及（4.1.l8）式代入{4.1.16}式，得（4.1.19）以乘（4.1.19）式两端并对x作积分，得即（4.1.20）其中（4.1.21）（4.1.20）式也可直接用矩阵表示为（4.1.21）（4.1.21）式是算符在表象中的表示。在选定表象后，算符对一个矩阵。这个矩阵的第n行第m列的矩阵

6、元Fnm是算符作用在第m个基矢um(x)后得出的函数与第n个基矢的内积。容易将上述结果推广到连续谱的情况。作为例子，假定算符就是动量算符，则在动量表象中的矩阵元是（4.1.24）若是厄米算符，则它在表象所对应的矩阵必为厄米矩阵.的确，对(4.1.21)式取复数共厄并由的厄米性得(4.1.25)这说明矩阵F与它的共扼矩阵相等(4.1.26)因此F是厄米矩阵。如果选择的表象就是算符自身的表象，在表象中，算符对应的矩阵元是（4.1.27）(4-1.27)式表明:算符在自身的表象中对应对角矩阵，对角线上的元素就是算符

7、的本征值。4.2矩阵力学表述在引入特定表象后，量子力学中的所有公式都可用矩阵表述，从而构成矩阵力学。仍以表象为例，量子力学公式可通过下述公式表示:[1]波函数，（4.2.1）(2)算符算符用矩阵表示，其矩阵元满足（m=1,2,…….）(4.2.3)(3)平均值公式（4.2.4）(4)归一条件将波函数及其共扼复数式按表象的基矢展开，即将(4.1.17)式代入归一条件后，得(4.2.6)(4.2.6)式用矩阵形式表示为=1(4.2.7)或记为（4.2.8）（5）本征值方程算符的本征值方程为（4.2.9）其中为本征

8、值。将及在表象中表示出来，可得（4.2.9）式的矩阵形式：（4.2.10）（4.2.10）式可改写成（4.2.11）或（4.2.12）方程（4.2.12）式是一个齐次线性代数方程组：(m=1,2,…,n….)(4.2.13)这个方程组具有非零解的条件是它的系数行列式为零，即(4.2.14) (4.2.14)式称为久期方程，解久期方程得到一组的值:它们就是算符的本征值。重根，因为这时体系可能有简并。(