2018年高考数学 专题39 轨迹方程求解方法黄金解题模板

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1、专题39轨迹方程求解方法【高考地位】求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。【方法点评】方法一直接法使用情景：可以直接列出等量关系式解题步骤：第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。例1在平面直角坐标系中，动点与两点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A.B.C.D

2、.【答案】A【变式演练1】已知，，动点满足，则点的轨迹方程是（）A.（）B.（）C.（）D.（）【答案】A【解析】∵点，∴又∵动点满足∴点的轨迹方程是射线：（），故选A29例2【2018云南昆明一中模拟】已知点，，动点满足，则点的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】B【解析】点的坐标为，则，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B．【变式演练2】已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；求点M的轨迹的方程；【答案】方法二定义法使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义解题步骤：第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪

3、个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。例3已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设圆的半径为，则，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为.故选29C.【变式演练1】已知点，直线，点是直线上动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（）A、双曲线B、抛物线C、椭圆D、圆【答案】【解析】由题意知，点的轨迹为抛物线。例2已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标

4、原点，且满足．求点P的轨迹方程；【答案】试题解析：如图取连接，，，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，，的轨迹方程为：.【变式演练2】已知点和圆，过点的动直线与圆交于，则弦的中点的轨迹方程__________．【答案】方法三相关点法（代入法）使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动解题步骤：第一步判断动点随着已知曲线上的一个动点的运动而运动29第二步求出关系式第三步将点的坐标表达式代入已知曲线方程例4已知,分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为（）.A.B.C.D.【答案】A【变式演练1】已知

5、在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为.设点的坐标是。（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程。【答案】⑴；⑵【解析】⑴椭圆中心在原点，左焦点为29例5如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】29试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，则从而可得和的坐标,根据两向量垂直数量积为0可

6、得关于的方程,即点的轨迹方程．（Ⅱ）设,由可得,代入（Ⅰ）中所得点的轨迹方程可得点的轨迹方程．可知点的轨迹是以为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点．由椭圆中关系式可得的值．（Ⅲ）设直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程．由韦达定理可得两根之和,两根之积．从而可求得三角形面积,再用配方法求其最值．试题解析：解：（Ⅰ）设点的坐标为，则又由AC⊥BD有，即，∴．（Ⅱ）设，则，代入M的轨迹方程有即，∴的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．要到的距离之和为定值，则以为焦点，故．∴从而所求P的轨迹方程为．考点：1轨迹问题;2椭圆

7、的定义,简单几何性质．【变式演练2】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】C29点睛：本题主要考查轨迹方程的求解，利用了相关点法即代入法，关键是寻找动点之间的关系，再利用已知动点的轨迹求解．一般过程是求谁设谁，再根据条件找新方程上的点和已知曲线上的点之间的坐标关系，用已知曲线的点坐标表示要求的点的坐标，再代入已知曲线，化简即可。方法四参数法使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时解题步骤：第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；第二步消去参数，得到关于的方程，即

8、为所求轨迹方程。例6、已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】B29【变式演练1】已知圆，过点作直线交圆于两点，分别过两点作圆的切线，当两条切线相交于点时，则点的轨迹方程为__________．【答案】方法五交规法使用情景：涉及到两曲线的交点轨迹问题29解题步骤：第一步解两曲线