2010届一轮复习高三数学第十二编概率与统计正态分布

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1、2010届步步高一轮复习高三数学第十二编概率与统计正态分布基础自测1.把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是（）A.曲线C2仍是正态曲线B.曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D.曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2答案C2.已知～N(0,)且P（-2≤≤0）=0.4，则P(＞2)的值为（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案A3.（20

2、08·安徽理，10）设两个正态分布N（，）（＞0）和N（，）（＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A.＜，＜B.＜＞C.＞，＜D.＞，＞答案A4.（2008·湖南理，4）设随机变量服从正态分布N（2，9），若P（＞c+1）=P（＜c-1），则c等于（）A.1B.2C.3D.4答案B5.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N（110，52），据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（）A.（90，110］B.（95，125］C.（100，125］D.（105，115］答案C例1若一个正态分布的

3、概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（-4，4）的概率.解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即=0.由=，得=4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是=，x∈（-∞,+∞）.（2）P（-4＜X＜4）=P(0-4＜X＜0+4)=P(-＜X≤+)=0.683.例2设X～N（5，1），求P（6＜X＜7）.解由已知=5,=1.∵P(4＜X＜6)=0.683，P(3＜X＜7)=0.954，∴P(3＜X＜4)+P(6

4、＜X＜7)=0.954-0.683=0.271.如图，由正态曲线的对称性可得P（3＜X＜4)=P(6＜X＜7)∴P(6＜X＜7)==0.1355.例3（12分）在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即～N（90，100）.(1)试求考试成绩位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？解∵～N（90，100），∴=90，==10.2分（1）由于正态变量在区间（-2，+2）内取值的概率是0.954，而该正态分布中，-2=9

5、0-2×10=70，+2=90+2×10=110，于是考试成绩位于区间（70，110）内的概率就是0.954.6分（2）由=90，=10，得-=80，+=100.由于正态变量在区间（-，+）内取值的概率是0.683，所以考试成绩位于区间（80，100）内的概率是0.683.8分一共有2000名考生，所以考试成绩在（80，100）间的考生大约有2000×0.683=1366（人）.12分1.标准正态分布的概率密度函数是f(x)=·(x∈R).（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求f（x）的最大值；（3）利用指数函

6、数的性质说明f（x）的增减性.（1）证明对任意x∈R，有f(-x)===f(x),∴f(x）为偶函数.（2）解令t=,当x=0时，t=0,et=1.∵et是关于t的增函数，当x≠0时，t＞0，et＞1.∴当x=0，即t=0时，=et取最小值.∴当x=0时，f（x）=取得最大值.(3)解任取x1＜0，x2＜0，且x1＜x2,有＞,∴＜.∴f(x1)＜f(x2),即当x＜0时，f(x)递增.又f(x)为偶函数，由偶函数性质得，当x＞0时，f（x）递减.2.设X～N（1，22），试求（1）P（-1＜X≤3);(2)P

7、(3＜X≤5);(3)P(X≥5).解∵X～N（1，22），∴=1，=2.（1）P（-1＜X≤3)=P(1-2＜X≤1+2)=P（-＜X≤+)=0.683.（2）∵P（3＜X≤5)=P(-3＜X≤-1)∴P(3＜X≤5)=［P(-3＜X≤5)-P(-1＜X≤3)］=［P(1-4＜X≤1+4)-P(1-2＜X≤1+2)］=［P(-2＜X≤+2)-P(-＜X≤+)］=×(0.954-0.683)=0.1355.(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),∴P(X≥5)=［1-P(-3＜X≤5)］=［1-P(1-4＜X≤1

8、+4)］=［1-P(-2＜X≤+2)］=（1-0.954)=0.023.3.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N(4，)，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5）这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∵X～N(4,)，∴=4，=.∴不属于区间（3，5）的概率为P（X≤3）+P(X≥5)=1-P（3＜X＜5)=1-P(4-1＜X＜4+1)=1-P(-3＜X＜+3)=