重庆市江北中学2013届高三上学期期中考试数学理试题含答案

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1、重庆市江北中学校2012-2013学年（上）半期考试高2013级数学（理科）试题命题人费良琼审题人游绍斌一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数z=1-i的虚部是（）A.1B.-1C.iD.–i2.己知，则=()A.BC.D.3．的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.函数零点的个数是（）A．5B．4C．3D．25.函数y＝3sin(x∈[0，π])的单调递增区间是(　　)A.B.C.D.6.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为（　　）A．B．C．D．7

2、.在△ABC中，cos2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．=（）A.B.C.D.9.已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则（　　）A．B．C．D．10.若均为单位向量，且，则的最大值为（）A.3B.C.1D.+1二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11．设是虚数单位，则=12.曲线y=-x+3在点（1，3）出的切线方程为13.设的最大值为16，则。14.已知，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（），n＝（cosA,si

3、nA）.若m⊥n，且，则角＝.15.对于下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形；②已知a，b，c是△ABC的三边长，若，，，则△ABC有两组解；③设，，,则；④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象。其中正确命题的个数是.三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．(本小题13分)已知数列的前项和为，满足，且依次是等比数列的前两项。（1）求数列及的通项公式；（2）是否存在常数且，使得数列是常数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。17.(本小题13分)已知向量＝(cosx，sinx)，，且x∈[0，]．（1）求（2）

4、设函数=+，求函数的最值及相应的的值。18.(本小题满分13分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。（1）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望19．（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的最小值

5、和最大值；（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．20.（本小题满分12分）已知.（1）求函数在上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.21.（本小题满分12分）设数列的前项和为,满足,,且，，成等差数列.(1)求，的值;(2)是等比数列(3)证明:对一切正整数,有.重庆市江北中学校2012-2013学年（上）半期考试高2013级数学（理科）试题答案命题人费良琼审题人游绍斌一．BDACBABDAC二．11.12.2x-y+1=013.14.15.(3)(4)16.（13分）解：（1）n=1,(2)存在，为常数列，17

6、.（13分）解：（1）由已知条件：，得：=2sinx(2)=18.（13分）解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为，………2分付2元为，付4元为…………………4分则所付费用相同的概率为……………6分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8…………………10分分布列…………………13分19．（本小题满分12分）解:（I）…………3分则的最小值是,最大值是．……………………6分（II）,则,,,,,……………………………8分向量与向量共线，由正弦定理得，　　　　①………10分由余弦定理得，，即　　②由①②解得．………………………………12分20.（本

7、小题满分12分）解：（1）定义域为，，当单调递减，当，单调递增.…………………………2分①无解；……………………………3分单调递减，单调递增……8分在上，有唯一极小值，即为最小值.所以，因为对一切恒成成立，所以；…………………9分（3）问题等价于证明，由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，…………………11分从而对一切，都有成立.…………………12分21.（本小题12分）解：（1）（2）由得相减得是首项为3，公比为3的等比数列（3）因为,所以,所以,于是.