高等数学- 作业册- 第11章(01)

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1、院系班级姓名作业编号第十一章无穷级数作业29常数项级数的概念和性质1．按定义判断下列级数的敛散性，若收敛，并求其和：（1）；解：因为所以因此由定义可知该级数收敛（2）；解：因为所以，因此由定义可知该级数发散（3）；解：因为所以，因此由定义可知该级数收敛31院系班级姓名作业编号（4）；解：因为，依次重复所以，，不存在因此由定义可知该级数发散2．利用基本性质判别下列级数的敛散性：（1）；解：观察发现该级数为，是发散的调和级数每项乘以得到的，由级数的基本性质，该级数发散（2）；解：观察发现该级数为，是收敛的两个等比级数

2、，逐项相加得到的，由级数的基本性质，该级数收敛（3）；解：观察发现该级数为，是收敛的等比级数与发散的逐项相加得到的，由级数的基本性质，该级数发散（4）．解：观察发现该级数一般项为，但由级数收敛的必要条件，该级数发散31院系班级姓名作业编号作业30正项级数及其收敛性1．用比较判别法（或定理2的推论）判定下列级数的敛散性：（1）；解：由于，而是收敛的等比级数从而由比较判别法，该级数收敛（2）．解：由于，而是收敛的等比级数从而由比较判别法的极限形式，该级数收敛2．用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性：（1）；解：由于，

3、从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（2）；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（3）；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛31院系班级姓名作业编号（4）．解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛3．用柯西判别法判定下列级数的敛散性：（1）；解：由于，从而由柯西判别法，该级数收敛（2）．解：由于，从而由柯西判别法，该级数收敛4．用判别法判定下列级数的敛散性：（1）；解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散（2）．解：由于，而为的收敛的级数，从而由判别法，该级数收敛5．设为正整数，证明：31院

4、系班级姓名作业编号（1）；解：对来说，由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知（2）．解：对来说，由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知，从而由无穷大量与无穷小的关系31院系班级姓名作业编号作业31交错级数与任意项级数的收敛性1．判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：（1）；解：该级数为交错级数，其一般项的绝对值为单调减少，且，从而由莱布尼茨判别法知其收敛再由于，由判别法知发散，从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛（2）；解：由于，由判别法知，

5、绝对收敛（3）；解：由于不存在，由收敛级数的必要条件，从而该级数发散（4）；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛（5）．解：当时显然收敛，否则31院系班级姓名作业编号，当时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛，当时级数变为发散当时级数变为条件收敛7．若存在，证明绝对收敛．证明：由已知从而绝对收敛．8．若级数绝对收敛，且，试证：级数和都收敛．级数是否收敛？为什么？证明：若级数绝对收敛，则必收敛，由必要条件由，从而级数和都有意义，而，从而级数和都收敛。级数发散，因为，收敛的必要条件不满足。31院系班级姓名作

6、业编号作业32幂级数及其求和1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域：（1）；解：当时即为条件收敛，从而收敛域为（2）；解：当时即为，由于从而级数发散，因此收敛域为（3）；解：当时，当时幂级数即为，由于从而级数发散当时幂级数即为，由于且从而级数收敛。因此收敛域当时当时，31院系班级姓名作业编号当时即为即为，由于从而级数发散，从而当时收敛域为（4）；解：当时即为条件收敛，从而收敛域为（5）；解：因此收敛域为（6）．解：对于，当时即为条件收敛，当时即为发散，从而原级数的收敛半径为1，收敛域为2．求下列幂级数的收敛域及其和函

7、数：（1）；解：当时，即为条件收敛，当时即为发散，31院系班级姓名作业编号从而幂级数的收敛域为设，则从而故（2）；解：当时，即为发散，从而幂级数的收敛域为故，（3）．解：从而幂级数的收敛域为设，则，，由特征方程，得通解再由得特解31院系班级姓名作业编号（4），并求数项级数的和．解：，当时发散，从而幂级数的收敛域为设，则，31院系班级姓名作业编号作业33函数展开成幂级数1．将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其成立的区间）：（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）(提示：利用)；解：，（5）．解：31院系班级姓名

8、作业编号2．将下列函数展开成的幂级数（要指出其成立区间）：（1）；解：（2）．解：3．求下列函数的幂级数展开式，并确定其成立区间：（1）；解：（2）．解：4．展开为的幂级数，并证明：．解：31院系班级姓名作业编号从而31院系班级姓名作业编号作业34傅里叶级数1．下列周期函数的周期为，它在一个周期上的表达式列举如下，试求的傅里叶级数展开式．（1）；解：（2）；解：（3）；3