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1、5.2向量空间的定义和基本性质授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质授课时数：3学时教学重点：线性空间的定义及基本性质教学难点：性质及有关结论的证明教学过程：一、线性空间的定义1.引例―――定义产生的背景例子．设则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）这里2.向量空间的定义－抽象出的数学本质Def:设V是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作；F是一个数域,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了FV到V的一个叫做纯量乘法的代
2、数运算.（F中元素与V中的乘积记作）。如果加法和纯量乘法满足：1）2）3）（找出元）4）ˊ使得ˊ=称ˊ为的负向量（找出负元）5）6）7）8）V是F上的一个线性空间，并称F为基数域.3.进一步的例子――加深定义的理解例1：复数域C对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R上的线性空间.例2：任意数域F可看作它自身的线性空间.例3其加法定义为,数乘定义为,则V是数域F上的线性空间.注:V={0}对普通加法和乘法是数域F上的线性空间,称为零空间.例4：设F是有理数域，V是正实数集合，规定练习集合V对规定的是否作成数域F上的线性空间？解显然V
3、对满足条件1）—7），但对任意的有故集合V对规定的不作成数域F上的线性空间.由此例可以看出,线性空间定义中的条件8)是独立的,它不能由其他条件推出.二、线性空间的简单性质1、线性空间V的加法和纯量乘法有以下基本性质.Th5.2.11）V的零向量唯一，V中每个向量的负向量是唯一的.2）证明：1）设是V的两个零向量，则.设是的负向量,则有于是*由于负向量的唯一性,以后我们把的唯一负向量记作.2）因所以3）*我们规定:且有定理5.2.2对F的任意数a,b和V中任意向量,则有1)2)特别地,3)4)证明:1)因为所以类似地可证2)因为所以是的
4、负向量,即.同理可证3)设如果则有于是4)注:线性空间的定义中与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价.事实上,由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).反之,由线性空间定义中的条件1)—7)及定理5.2.2的性质3）可推得因为由性质3）课堂讨论题：检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：1）起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V，按通常集合向量的加法及数乘运算；2）按通常数域F上n维向量的加法及乘法运算；3）按通常数域F上矩阵的加法及乘法运算；4）按通常数域F上多项式的加法及数
5、乘运算；5）全体实数R的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C上线性空间？全体复数域C的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R上线性空间？6）数域F上的n阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为三、子空间1、子空间的定义定义2：子空间的定义：V是F上一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对V的加法和FV到V的纯量乘法，也作成F上的一个线性空间，则称W是V的子空间。例5：F[x]是F[x]的子空间.例6：V是它本身的一个子空间.{0}也是V的子空间.V和零空间叫做V的平凡子空间，V的其他子空间叫做V的真子空间.2、子
6、空间的判断：Th5.2.3设V是数域F上的线性空间,W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件：（1）（2）证明：(1)W对加法封闭,即对任意(2)W对纯量乘法封闭,即对任意证明:必要性.设W是V的子空间,则V的加法是W的代数运算,从而W对V的加法封闭;另外,到V的纯量乘法也是到W的纯量乘法,因此W对纯量乘法也封闭.充分性.由于W对V的加法封闭,对到V的纯量乘法封闭,所以V的加法是W的代数运算,到V的纯量乘法也是到V的纯量乘法的代数运算.线性空间定义中的算律1),2),5),6),7),8)对V中任意向量都成立,自然对W的向量也
7、成立.由W对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2,对于,所以V中的零向量属于W,它自然也是W的零向量,并且,因此条件3)和条件4)也成立,故W是V的子空间.推论1：W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件：3、生成子空间例7：设是数域F上的线性空间V的一组向量.则作为V的一个子空间.所以又因4、子空间的交与并Th4:W,W是V的两个子空间，则WW仍是V的子空间.(问WW是否为V的子空间.)证明:因为W,W是V的两个子空间，所以所以是V的子空间.推广：若W，W是V的子空间，则也是V的子空间.例：A是一个n阶矩阵，S（A）={B
8、AB
9、=BA}则S（A）是的一个子空间.证：又2.两个子空间的并则不一定是子空间.（WW={}）证：当时=当时=由已知，均为V的子空间.“”（反证）设是V的子空间，且，，则存在，，也存在，，由于且是V的子空间，因而，于是或，故
