高数微分侧面积公式推导

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1、定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积  设旋转体是曲线y=f(x)(≥0,a≤x≤b),直线x=a,x=b绕x轴旋转而生成.任取一微区间[x,x+dx],如图1.有P(x,y),Q(x+dx,y+Δy),由弧微分中的讨论知:  弧长=Δs=ds+o(dx)①  线段=+o(dx)=ds+o(dx)②  因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA,线段PQ绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y+Δy,侧高为的圆台的侧面积Δ∑.由圆台侧面积公式可知后者等于  Δ∑=π(y+y+Δy)  =π[2y+dy+o(dx)]

2、[ds+o(dx)]  =2πyds+o(dx),  显然ΔA=Δ∑+o(dx),故有    从而旋转体的侧面积为    相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式,这里不列出了.  例18求抛物线y2=2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积.    由⑤式得侧面积为      例19求由圆x2+(y-a)2=r2(r<a)绕x轴旋转而成的环体的表面积.    故对哪个半圆周都有    代入公式⑤即得所求表面积为      解采用参数坐标较为方便.  令x=acost,y=bsint0≤t≤2π  弧长微分    故表面积

3、为        我们说过椭圆的周长不能准确计算,但椭圆的旋转面积却能准确算出来.当e  习题  29.求抛物线y2=4x,直线x=8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积.  求旋转下列曲线所成曲面的面积      33.x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴.    答案

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