高数微分侧面积公式推导

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1、定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积　　设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：　　弧长＝Δs＝ds＋o(dx)①　　线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx)②　　因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于　　Δ∑＝π(y＋y＋Δy)　　＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx

2、)]　　＝2πyds＋o(dx)，　　显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有　　　　从而旋转体的侧面积为　　　　相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．　　例18求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．　　　　由⑤式得侧面积为　　　　　　例19求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．　　　　故对哪个半圆周都有　　　　代入公式⑤即得所求表面积为　　　　　　解采用参数坐标较为方便．　　令x＝acost，y＝bsint0≤t≤2π　　弧长微分　　　　故表面积为　　　　　　　　我们说过椭圆的

3、周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来．当e　　习题　　29．求抛物线y2＝4x，直线x＝8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积．　　求旋转下列曲线所成曲面的面积　　　　　　33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴．　　　　答案