巧用几何画板解析动点问题

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1、巧用几何画板解析动点问题　　动点问题是初中几何的重、难点之一，但对于形象思维和空间概念都处于初步发展的初中学生来说要正确地理解并解答这一类型的问题是比较困难的。仅借助传统工具要呈现几何图形的空间关系，特别是运动中的图形的空间关系也非常困难，所以往往教师的讲解也显得比较苍白。教学过程中我发现教学辅助软件“几何画板”能较好地帮助我们解析此类问题。　　例1：求运动中的点产生的轨迹：如图（此图是几何板绘制并运行后得到的效果图），有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A'→A''，其中第二

2、次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A''C与桌面成30°角，则点A翻滚到A''位置时，共走过的路径长为多少？对角线AD和边A'B'扫过部分的面积是多少？　　■　　问题分析：这是一个比较典型的求点、线运动轨迹相关量的几何问题。如果学生具有较强的空间思维能力，很容易发现，A点运动到A''点的运动过程中形成的轨迹分别就是以D、B为圆心，AD、B'A'为半径的两段弧，即图中两条红色的曲线。解决这个问题，学生的头脑中必须经历点、线空间变化的想象过程，如果没有通过观察、演译、归纳和总结是难以想象得到的。　　作图方法：首先在几何画板中构建一个长宽之比为3：

3、4的矩形，具体操作办法是：作任意线段AC，构造AC的中点E，再构造CE的中点F，定义A为旋转中心将AF旋转90°，得到AB边。分别过B、C两点作AC、AB的平行线，构造交点，连接交点就得到长宽比为3：4的矩形ABCD；其次定义D为旋转中心，将矩形ABCD顺时针旋转90°，得到矩形A'B'C'D'；再次以B'为旋转中心，将矩形A'B'C'D'顺时针旋转60°。通过上述操作就可以得到题目中要求的动态几何图形（可拖动A点改变图形的大小和位置）。完成图形的制作后，制作矩形ABCD和矩形A'B'C'D'的旋转动画。具体操作办法是：以D为圆心，AD为半径构造

4、弧AA'，在弧AA'任取一点H，连接DH，选中点H和A'定义H的运动，选中线段DH和点H选择显示追踪痕迹；用同样的方法作出A'B'C'D'的旋转动画。　　指导过程：首先，让学生读懂题目后观察原图中各几何元素之间的关系，然后点击旋转图形1使A点和线段AD运动，在运动过程中点A和线段AD就会形成如图所示的运动轨迹（红色曲线和对应的扇形），让学生观察动态过程和由此得到的静态图形。然后，引导学生运用数形结合的思想解答相关问题。再次，同样的方法得到矩形A'B'C'D'的运动情况。　　通过几何画板的动态演示和静态分析，学生直观地看到了点的运动过程和形成的静态

5、图形，空间思维得到了充分的调动，培养了学生的空间想像能力，同时可以形成较好的解题经验。　　例2：抛物线上的动点与解析式的关系：已知抛物线y=k（x+1）（x-3/k）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数为多少？其解析式分别是怎样的？　　■　　问题分析：这是一个求二次函数的解析式的问题，通过对已知的解析式的分析和变化可得到A、B、C的坐标分别为（-1，0）、（3/k，0）、（0，3），即A、C为定点，B为动点。这样的题型可以通过方程和函数的关系，用代数方法求函数的解析式，但是如果不借用图形的辅助，仅靠代数的

6、方法来求解无论是对学生还是教师来讲都是非常困难的事情。　　作图方法：用几何画板绘制如图所示的抛物线，操作过程是：首先在平面内定义平面直角坐标系，然后运用几何画板中绘制函数图像的功能绘制二次函数y=k（x+1）（x-3/k）的图像，由于这里的k值不确定，所以在作图时先作出一条线段EF，用度量功能度量线段EF的长，再把FE的长引用为函数y=k（x+1）（x-3/k）的k值。根据实际情况k值可能为正数，也可能为负数，因此还需作出y=-k（x+1）（x+3/k）的图象。　　指导过程：引导学生分析从已知函数的解析式中求出A、C两点坐标，再从绘制的二次函数的

7、图像中观察，A、C两点即是抛物线与x轴和y轴的交点。分别演示当k>0（即抛物线开口向上时）B点的运动情况，拖动图中的点E（即改变EF的长度）这就相当于改变函数中的k值，引导观察当k值变化时，抛物线与x轴交点B的位置变化规律，然后按题目要求把被动运动的点B分别运动到AB=AC、AB=BC、BC=AC的位置，指导学生运用勾股定理和等腰三角形的性质求出运动过程中满足要求的B点的坐标B1、B2、B3，然后带入3/k即可求出已知函数中的k值，这样就顺利地得到了符合条件的三条抛物线的解析式。然后用同样的办法引导学生分析当k<0时符合要求的点B4的坐标，求出满

8、足条件的第4条抛物线的解析式，完成解答过程。　　通过上述操作，可以让学生形象地感知二次函数中的k值与抛物线上的被动点B之间的动态关系，把