数协重读重考真题

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1、数学探讨协会第九届“重读重考”考试试卷第I部分一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分　在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的　1　下列函数中，反函数是其自身的函数为（）A　B　C　D　2　设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的（）A　充分不必要条件B　必要不充分条件C　充分必要条件D　既不充分也不必要条件3　若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A　B　C　D　4　若为实数，，则等于（）A　B　C　D　5　若，则的元素个数为（）A　0B　1C　2D　36　函数的图象为，①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象

2、　以上三个论断中，正确论断的个数是（）A　0B　1C　2D　37　如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（）A　B　C　D　8　半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（）AyBOxA　B　C　D　9　如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）第9题图A　B　C　D　10　以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（）A　B　C　D　11　定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期　若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）A　0B

3、　1C　3D　5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分　把答案填在答题卡的相应位置12　若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于　yxO13　在四面体中，为的中点，为的中点，则（用表示）　14　如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形　当时，这些三角形第14题图的面积之和的极限为　15　在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）　①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每

4、个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体　第II部分三、解答题：本大题共6小题，共79分　解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤　16　（本小题满分12分）ABCD已知为的最小正周期，，且　求的值　17　（本小题满分14分）如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，　（Ⅰ）求证：与共面，与共面　第17题图（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）　18　（本小题满分14分）设，　（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有　19　（本小题满分12分）xyBAOaＣD如图，曲线的方程为　以原点为圆

5、心　以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点　直线与轴相交于点　（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标的关系式（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，求证：直线的斜率为定值　第19题图20　（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象　一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔　以表示笼内还剩下的果蝇的只数　（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望；（Ⅲ）求概率　21　（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度　公民在就业的第一年就交纳养老储

6、备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列　与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利　这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，　以表示到第年末所累计的储备金总额　（Ⅰ）写出与的递推关系式；（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列　数学探讨协会第九届“重读重考”考试试卷参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算　每小题5分，满分55分　1　Ｄ2　Ａ3　Ｂ4　Ｂ5　Ｃ6　Ｃ7　Ａ8　Ｃ9　Ｄ10　Ｂ11　Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运

7、算　每小题4分，满分16分　12　713　14　15　①③④⑤三、解答题16　本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力　本小题满分12分　解：因为为的最小正周期，故　因，又　故　由于，所以　17　本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力　本小题满分14分　解法1（向量法）：以为原点，以