2013-2014学年九年级数学下册典例讲解：26.7《圆与圆的位置关系》（沪科版）

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1、圆与圆的位置关系1．圆心距的定义两圆圆心之间的距离叫做圆心距．如图，O1O2的长度就是圆心距；我们把通过两圆圆心的直线叫做连心线，直线O1O2就是两圆的连心线．(1)我们通常用O1O2表示圆心距，实际上圆心距应该是它的长度而不是线段本身；(2)注意圆心距和连心线是不同的，圆心距是线段的长度，连心线是直线；(3)由此可知，任意两个圆的组合图形都是轴对称图形，它们的对称轴就是两圆的连心线．【例1】如图，已知O1与O2的直径都是2cm，线段AB＝3cm.求O1和O2的圆心距．分析：根据圆心距的定义，圆心距是连接两圆圆心的线段的长度，所以O1和O2的圆

2、心距等于两圆半径的和再加上线段AB的长．解：∵O1与O2的直径都是2cm，∴O1A＝O2B＝1cm.∵O1O2＝O1A＋O2B＋AB＝1＋1＋3＝5(cm)，∴O1和O2的圆心距是5cm.2．圆与圆的位置关系两个圆的位置关系有且只有7种情况：设两圆的半径分别是r1和r2，圆心距是d，则：(1)当圆心距d＞r1＋r2时，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外离，如图1.(2)当d＝r1＋r2时，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外切，如图2，这个公共点叫做切点．(3)

3、当r2－r1＜d＜r1＋r2(设r1≤r2)时，两个圆恰好有两个不同的公共点，称这两个圆相交，如图3.(4)当d＝r2－r1(设r1＜r2)时，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内切，如图4，这个公共点叫做切点．(5)当0＜d＜r2－r1(设r1＜r2)时，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内含但不同心，如图5.(6)当d＝0且r1≠r2时，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两个圆的圆心重合，称这两个圆内含且同心，简称它们为同心圆，如图6.(7

4、)当d＝0且r1＝r2时，两个圆重合．要判定两圆的位置关系，有两种具体的途径：(1)根据两圆公共点的个数判断①当两圆没有公共点时，两圆的位置关系是外离或内含；②当两圆有且只有一个公共点时，两圆的位置关系是内切或外切；③当两圆有两个公共点时，两圆的位置关系是相交．(2)根据两圆的半径与圆心距的关系判断．【例2－1】已知O1和O2的半径分别为3cm和2cm且O1O2＝1cm，则O1与O2的位置关系为__________．解析：已知O1和O2的半径分别为3cm和2cm且O1O2＝1cm，所以3－2＝1，即r1－r2＝d，因此O1和O2的位置关系为内切

5、．答案：内切【例2－2】两圆圆心都在y轴上，且两圆相交于A，B两点，点A的坐标为(2,1)，则点B的坐标为(　　)．A．(－2,1)B．(－2，－1)C．(2，－1)D．(0,1)解析：∵圆心都在y轴上的两圆所构成的图形是轴对称图形，且对称轴是y轴，∴它们的交点A，B关于y轴对称．∵点A的坐标为(2,1)，且关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，∴B点坐标为(－2,1)．答案：A【例2－3】已知A，B相切，圆心距为10cm，其中A的半径为4cm，则B的半径为______．解析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以B的半径就

6、有两种情况．设B的半径为R.(1)如果两圆外切，那么d＝10＝4＋R，R＝6cm；(2)如果两圆内切，那么d＝

7、R－4

8、＝10，R＝－6(舍去)或R＝14.答案：6cm或14cm【例2－4】如图，O的半径为5cm，点P是O外一点，OP＝8cm.求：(1)以P为圆心作P与O外切，小圆P的半径是多少？(2)以P为圆心作P与O内切，大圆P的半径是多少？分析：由小圆P与O外切，可知小圆P与O的半径的和是OP的长，即8cm，又知O的半径为5cm，从而求出小圆P的半径；同理，大圆P与O内切，可知大圆P与O的半径的差是OP的长，即8cm.也能求出大圆P的半径

9、．解：(1)设P与O外切于点A，则PA＝PO－OA，∴PA＝3cm.(2)设P与O内切于点B，则PB＝PO＋OB，∴PB＝13cm.【例2－5】已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作O，以B为圆心，4为半径作B．求证：O与B相外切．分析：要证明两圆外切就要分别求两圆的半径和圆心距．本题中圆O的半径很容易求出，就是线段AC的一半，即6；圆B的半径是4，是已知的；根据勾股定理可以求出线段OB的长．根据d＝R＋r，可以判定两圆外切．证明：连接BO.∵AC为O的直径，AC＝12，∴O的半径OC＝AC＝6.∵∠C＝90

10、°且BC＝8，∴BO＝＝＝10.∵O的半径R1＝6，B的半径R2＝4，∴BO＝R1＋R2.∴O与B相外切．【例2－6】O1和O2交于A，B两点，且O1