2013-2014学年九年级数学下册典例讲解：26.5《直线与圆的位置关系》（沪科版）

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1、直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(1)直线与圆有三种位置关系：相交、相切和相离，如图所示．直线l和O的位置关系是由直线与圆的公共点的个数决定的．①相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离，如图(1)所示．②相切：当直线与圆只有一个公共点时，叫做直线和圆相切，如图(2)所示．这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．③相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，如图(3)所示．此时这条直线叫做圆的割线．(2)直线与圆的位置关系的判定①定义法：用直线与圆的公共点的个数进行判定，其关系如

2、下：Ⅰ：直线l与O没有公共点⇔直线l与O相离；Ⅱ：直线l与O有唯一公共点⇔直线l与O相切；Ⅲ：直线l与O有两个公共点⇔直线l与O相交．②d，r比较法：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l与O的位置关系与d，r的关系如下：Ⅰ：直线l与O相交⇔d＜r，如图①；Ⅱ：直线l与O相切⇔d＝r，如图②；Ⅲ：直线l与O相离⇔d＞r，如图③.(1)d，r比较法中，左边反映的是两个图形的位置关系，右边反映的是两个数量的大小关系：从左端推出右端是直线和圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线和圆的位置关系的

3、判定；(2)研究直线和圆的位置关系，既可以转化为点到直线的距离与半径的大小关系，又可以转化为直线和圆的公共点的个数问题，两种方法是一致的．【例1－1】(1)O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为7cm，则直线l与O的位置关系是(　　)．A．相交B．相切C．相离D．不能确定(2)已知O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与O的位置关系为(　　)．A．相交B．相切C．相离D．相交、相切、相离都有可能解析：(1)要判定直线l与O的位置关系，只要比较圆的半径与圆心到直线l的距离的大

4、小，根据大小关系确定位置关系．因为O的直径为12cm，所以半径为6cm，因为圆心O到直线l的距离为7cm,7＞6，所以直线l与O的位置关系是相离．选C.(2)本题知道O的半径为3cm，并知道点P是直线l上一点，OP长为5cm，并没有告诉圆心到直线l的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l的距离的大小，所以此时要根据直线与圆的位置关系的三种情况分别探究是否都有可能．通过具体的数值分析，可知直线l与圆的位置关系三种都有可能，所以选D．答案：(1)C　(2)D【例1－2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，A

5、C＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB所在直线有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2cm；(2)r＝2.4cm；(3)r＝3cm.分析：因为题目给出了C的半径，所以解题的关键是求圆心C到直线AB的距离(d不变)，也就是要求出Rt△ABC斜边AB边上的高．为此，可过C点向AB作垂线段CD，然后可根据CD的长度与r进行比较，确定C与AB的关系．解：如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D．在Rt△ABC中，AB＝＝＝5cm.根据三角形的面积公式，有CD·AB＝AC·BC，∴CD＝＝＝2.4c

6、m，即圆心C到AB的距离d＝2.4cm.(1)当r＝2cm时，有d＞r，因此C和AB相离．如图1所示．(2)当r＝2.4cm时，有d＝r，因此C和AB相切．如图2所示．(3)当r＝3cm时，有d＜r，因此C和AB相交．如图3所示．判断直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行比较．2．圆的切线的性质(1)切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图1，已知直线CD与O相切于点A，OA为半径，则OA⊥CD．(2)本性质可这样理解：如果一条直线既过圆心又过切点，那么这条直线与圆的过

7、该切点的切线垂直．如图2，若直线l切O于点A，直线m经过点O，A，则直线m⊥l.当题目中有切线时，常作的辅助线是连接圆心和切点，从而利用垂直关系进行有关的证明．【例2】如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．分析：如图，连接OC.要证明AC平分∠DAB，只需证∠2＝∠3，因为∠1＝∠3，所以只需证∠1＝∠2.由圆的切线垂直于过切点的半径，和题目中已有的垂直关系可以推出平行，问题得证．证明：连接OC.∵CD与O切于点C，∴OC⊥CD．∵AD⊥

8、CD，∴OC∥AD，∴∠1＝∠2.∵OC＝OA，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.即AC平分∠DAB．3．圆的切线的判定(1)圆的切线的判定方法①定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．②数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．③切线判定：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．如图，∵OA是O的半径，AB⊥OA，∴AB是O的切线．(1)切线判定中的题设的两个条件“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”缺一不可，否则就不是圆的切线，如图所示