2018版高中数学人教a版）必修2同步教师用书：第2章2.3.1直线与平面垂直的判定

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1、2.3　直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1　直线与平面垂直的判定1．了解直线与平面垂直的定义．(重点)2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)[基础·初探]教材整理1　直线与平面垂直的定义阅读教材P64倒数第1行以上的内容，完成下列问题．文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足l⊥α直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)A．平行　

2、B．相交C．异面D．垂直【解析】　由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．【答案】　A教材整理2　直线与平面垂直的判定定理阅读教材P65“例1”以上的内容，完成下列问题．文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)A．平行　B．垂直C．相交不垂直D．不确定【解析】　直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边．【答案】　B教材整理3　直线与平面所成的角阅读教材P66“探

3、究”以下至“例2”以上的内容，完成下列问题．1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．2．范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.3．画法：如图231所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO.图231若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　)A．60°B．45°C．30°D．90°【解析】　斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°.【答案】　A[小组合作型]线面垂直的定义及判定定理的理解　下列说法中正确的

4、个数是(　　)①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3【精彩点拨】　利用线面垂直的定义及判定定理准确判断．【自主解答】　由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．【答案】　D1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法

5、是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内．2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[再练一题]1．下列说法中，正确的是(　　)A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥αC　[当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．]线面垂直判定定理的应用　如图232，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是A

6、C的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.图232(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【精彩点拨】　题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用．【自主解答】　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又A

7、C∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法1．线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．2．平行转化法(利用推论)(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.[再练一题]2．如图233所示，在三棱柱AB