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时间:2018-07-12
《2018版高中数学人教a版)必修2同步教师用书:第2章2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.(重点)2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.(重点、难点)3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P70的内容,完成下列问题.文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.( )(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行.( )(3)一条直线
2、在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.( )【解析】 由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确.【答案】 (1)√ (2)√ (3)√教材整理2 平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容,完成下列问题.文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言⇒a⊥β图形语言在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直D [在长方体AB
3、CDA1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF⊂面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1,答案D正确.][小组合作型]线面垂直性质定理的应用 如图2331所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.图2331求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点.【精彩点拨】 (1)要证线线平行,则先证线面垂直,即证AD1⊥平面A1DC.(2)可证ON=AM,ON=AB.【自主解答】 (1)∵ADD1A1为正方形,∴AD1⊥A1D.
4、又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.(2)连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.∴ON綊DC綊AB,∴ON∥AM.又∵MN∥OA,∴四边形AMNO为平行四边形,∴ON=AM.∵ON=AB,∴AM=AB,∴M是AB的中点.1.直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地运用它们.2.当题中垂直条件很多,但又需证平行关系时,就要考虑垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.[再练一题]1.如图233
5、2,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l.图2332【证明】 因为EA⊥α,α∩β=l,即l⊂α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理,得a∥l.面面垂直性质定理的应用 如图2333所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.图2333(1)若G为AD的中点,求证:BG⊥平面P
6、AD;(2)求证:AD⊥PB.【精彩点拨】 (1)―→―→(2)要证AD⊥PB,只需证AD⊥平面PBG即可.【自主解答】 (1)如图,在菱形ABCD中,连接BD,由已知∠DAB=60°,∴△ABD为正三角形,∵G是AD的中点,∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.(2)如图,连接PG.∵△PAD是正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG=G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.1.证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理
7、;(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a、b为直线,α为平面);(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.[再练一题]2.如图2334,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.图2334【证明】 ∵平面VAB⊥底面ABCD,且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB,∴BC⊥VA,又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA,又VB∩BC=B,∴VA⊥平面VBC,∵VA⊂平面VAC.∴平
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