2017年高中数学教a版选修4-1学案：互动课堂第一讲一平行word版含解析

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1、互动课堂重难突破　　一、平行线等分线段定理平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1-1-2对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.图1-1-3定理的条件是a、b、c互相平行，

2、构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.应当注意定理图形的变式:对于三条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.图1-1-4图1-1-5　　利用本定理可将一线段分成n等份，也可以证明线段相等或转移线段的位置.平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线

3、平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下:推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′交AC′于B′点.求证:B′是AC′的中点.证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线a，分别双向延长线段BB′、CC′,得直线b、c.∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有A

4、B′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1-1-6推论2:如图1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′.求证:B′是A′C′的中点.证明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，分别延长AA′、BB′、CC′为a、b、c,如图1-1-7.∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.图1-1-7三、刨根问底问题　平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？

5、探究:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形;或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形，它们的关系可以直观地表示,如图1-1-8:图1-1-8活学巧用【例1】如图1-1-9，已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F.求证:BF=CF.图1-1-9思路解析:在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论1，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻

6、烦.证明:在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC，∴E是AB的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边).又∵EF∥AC交BC于F，∴F是BC的中点，即BF=FC.【例2】求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图1-1-10，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证:ED=EC.图1-1-10思路解析:在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于F，即可

7、得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明:过E点作EF∥BC交DC于F,∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰).∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°.∴EF⊥DC于F.又∵F是DC中点,∴EF是DC的垂直平分线.∴ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).【例3】如图1-1-11,ABCD中,对角线AC、BD相交于O,OE∥AB交BC于E,AD=12,求BE的长.图1-1-11思路解析:

8、本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力.解:∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,BC=AD.∵AB∥DC,OE∥AB,∴DC∥OE∥AB.又∵AD=12,∴=.【例4】已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于