§1.5置换的奇偶性

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1、§1.5置换的奇偶性引理5.1若k,l≥0，且字母a,b,ci,dj是互不相同的，则（ab）（ac1…ckbd1…dl）=（ac1…ck）（bd1…dl），（ab）（ac1…ck）（bd1…dl）=（ac1…ckbd1…dl）。定义5.2设α∈Sn,且α=β1β2…βt是完全分解，定义α的符号函数为sgn(α)=(-1)n-t。注：1、对1-轮换，α=（1）（2）…（n）对t=n，从而sgn(α)=1；2、α是一个对换，则他移动两个数固定n-2个数，则t=n-1∴sgn（α）=-1例5.3：（1）设α=，求sgn（

2、α）（2）设τ（12）,α=（135）（24）,β=（132）（45），求sgn（τα）,sgn（τβ），且找出sgn（α）与sgn（τα）关系，sgn（β）与sgn（τβ）关系解：（1）sgn（α）=（-1）9-5=1（2）τα=（13524）τβ=（13）（2）（45）sgn（τα）=（-1）5-1=1sgn（τβ）=（-1）5-3=1sgn（α）=-1sgn（β）=-1引理5.4若α,τ∈Sn，其中τ是一个对换，则sgn(τα)=-sgn(α)证：设α=β1β2…βt是完全分解，设τ=（ab）若a,b出现在同

3、一个β里，不妨设出现在β1中，则β=(ac1…ckbd1…dl)，其中k,l≥0由引理5.1τβ=（ac1…ck）（bd1…dl）∴sgn（τα）=-sgn（α）类似可证得a,b分别出现在两轮换中的情况。定理5.5对α,βSn,则sgn(αβ)=sgn(α)sgn(β)证：假设给定αSn,α可以分解成m个对换的合成，α=τ1…τm下面用归纳法证明m=1时，α是一个对换由定理5.4知结论成立假设对m-1情形，结论成立sgn(αβ)=sgn(τ1τ2…τmβ)=-sgn(τ2τ3…τmβ)=-sgn(τ2…τm)sgn

4、(β)=sgn(τ1τ3…τm)sgn(β)=sgn(α)sgn(β)∴结论成立推论5.6α1α2…αkSn,sgn(α1α2…αk)sgn(α1)…sgn(αk)定理5.7称置换αSn为偶置换，若sgn(α)=1，称置换αSn为奇置换，若sgn(α)=-1,α和β同奇偶性，若它们都是奇置换或都是偶置换。★恒等变换为偶置换例5.8：判断下列置换的奇偶性⑴α,βS7α=(13)(24)β=(12)(23)(34)⑵γS8γ=(367)(48)解：⑴α=(13)(24)(5)(6)(7)sgn(α)=(-1)7-5=1

5、——偶sgn(β)=-1——奇⑵γ=(367)(48)(1)(2)(5)sgn(γ)=(-1)8-5=-1——奇定理5.8设αSn,若α是偶置换，则α是偶数个对换的合成若α是奇置换，则α是奇数个对换的合成证：若α=τ1τ2…τq是一些对换的合成由推论5.6知sgn(α)=sgn(τ1)sgn(τ2)…sgn(τq)=(-1)q∴若α是偶置换，即sgn(α)=1则q是偶数若α是奇置换，即sgn(α)=-1则q是奇数注：α与α-1同奇偶性。推论设α，β∈Sn，若α，β同奇偶性，则αβ是偶置换;若α，β奇偶性不同，则αβ

6、是奇置换。例5.11：写出S3中，所有的奇置换和所有的偶置换。解：所有置换（1）（2）（3）（1）（23）（12）（3）（13）（2）（123）（132）奇置换有（1）（23）（12）（3）（13）（2）偶置换有（1）（2）（3）（123）（132）定理5.10在Sn中，奇置换与偶置换各有。证：设Sn中，全体偶置换的集合为An,全体奇置换的集合为Bn设τ=（12）定义：f：An→Qnα→τα下证f是双射。α，β∈Sn,α≠β,则τα≠τβ∴f是单射对β∈Qn，β=（1）β=τ2β=τ(τβ)，且τβ∈An∴f是满射

7、∴f是双射又从而命题5.11r-轮换是偶置换r是奇数。证：设α=（i1i2……ir）是一个r-轮换，则α=（i1i2）（i2i3）……（ir-1ir）由推论5-6知：sgn（α）=sgn（i1i2）……sgn（ir-1ir）=（-1）r-1从而得证。定义5.14由Sn的全体偶置换所有构成的子群称为n次交错群，记为An。