质疑侔 式推理的映射处理

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1、质疑侔式推理的映射处理宋文坚北京大学哲学系原东德逻哲学家格·克劳斯的《形式逻辑导论》（中译本1981年由上海译文出版社出版）第六章第十五节《谓词逻辑的进一步发展》，有《映照和遗传理论附论》一小节。其中所讲映照理论，错误颇多。影响到我国中国逻辑史的研究。本文想就这方面的问题，作些探讨。不当处，敬请学界同仁指教。一“映照”，为译者译名。因无原文查照，只好推测。从该小节看，“映照”该是集合论中通常所讲的“映射”（有引用者，亦当作映射）。故本文以映射来立论。下面引克劳斯关于映射的描述：“在许多场合，所谓‘类通过关系的映照’具有巨大意义。如果存在着这样一个类A

2、k，它的任何一个元素x与K的一个或几个元素y有关系R（x,y）,我们便说类K通过R关系而映照。类Ak称为K的R映象，用符号记为R”K。对映照这个概念下定义需要使用广义谓词演算的方法：(Е=存在)（x）（k）(R)[X∈R”K～ЕY（R(x,y)）·y∈k].例如，如果R表示关系‘是兄弟’，而K表示拳击家的类，则R”K便是拳击家的兄弟的类。再如：设W是真理关系，而真理关系如我们已经提到过的，乃是判断u与现象s之间的一定联系—W（u，s）。这时，如果K是现象的类，则W”K便是真判断的类。用这里所考察的这个概念，还可以表述和证明（这里我们不来证明）这样一些

3、句子，这些句子，如德·摩根早就指出的，在亚里士多德逻辑中是根本没有地位的。我们指出的是这样一种句子（<=包含于）：(B)(A)(R)[（A

4、北京大学出版社2001年版）因而，映射乃是关系中的一种特殊的关系。我们把两个集合间具有函数关系的才叫做映射。记为ƒ：X→Y.集合X称作映射ƒ的定义域（dom）或叫象源。集合Y称作ƒ的值域（ran），或叫做映象。映射关系和一般关系的特殊处在于。（1）X的每个元素xi均对应Y的一个元素yj。即是说，ƒ的元素（xi，yj）对所有的xi（i=1，2，3…n）均出现。也就是说X的元素均有Y的元素与之对应。（2）X的每个元素xi均仅对应Y的一个元素yj。即是说关系ƒ的元素（xi，yj）对每个xi（i=1，2，3…n）均只能出现一次。也就是说，X的元素xi只能对应

5、到Y中的某一个元素yj上，不能再对应到其它的yj上。我们用一些直观图形来表示可能的几种映射关系（映射的复合除外）。5图一XƒYx1x2x3x4x5x6y1y2y3y4y5XƒYy1y2y3y4y5x1x2x3x4图二XƒYy1y2y3y4y5x1x2x3x4x5图三5我们来看克劳斯的所谓映射。他说的类K相当于映射ƒ的定义域，或象源，即他举例的拳击家的类。他说的类Ak相当于映射ƒ的值域，或映象，即他举例的拳击家的兄弟的类。由于克劳斯的映射定义没有规定（1）对每个x∈K，必存在y∈Ak使得（x，y）∈ƒ。（2）对每个x∈K，也只存在一个y∈Ak，使得（x

6、，y）∈ƒ。因而，对克劳斯的映射定义可以给出如下图式描述：（映源）（映象）K(拳击家)ƒAk（拳击家的兄弟）x1x2x3x4x5y1y2y3y4y5这一图像刻画满足克劳斯的定义。同时这一图像刻画也满足“兄弟”这一关系，因为会有拳击手没有兄弟，如y5；也会有拳击手有几个兄弟如（y2x1）、（y2x2）、（y3x3）、（y3x4）。但这一图像描述显然不符合映射这种关系。它既不满足所有映源都有映象与之对应，即上述规定（1）。y5就没有x与之对应；也不满足每个映源对映象对应的唯一性，即上述规定（2）。y2、y3对应的x都不是唯一的。因而，克劳斯所说的映射（译

7、名映照）并非是逻辑和集合论的映射。它的映射只是一般的关系，其中也可能包括映射关系，但他的映射的定义却是错误的，混乱的。就克劳斯关于映射所举的两个例子来看，他说的映射也并非映射。（1）兄弟关系不是映射关系。因为并非每人都能有兄弟，也并非一个人只能有一个兄弟。（2）真理关系也不是映射关系。就现象的类和真判断的类来说，它们既不是一多对应的，也不是一一对应的。我们未知的现象还太多太多，许许多多的现象的真解释也并非唯一的。由于克劳斯没有提出一个准确的映射概念，因而他所提出的用广义谓词逻辑演算方法给出的映照的定义，即（x）(k)(R)[X∈R”K～ЕY（R(x,

8、y)）·y∈K]以及他所提出的“如果类A包含于类B中，则它的R映照也包含于B的映照中”，即（B）（A）(R)