上元积年的研究和其在魏晋南北朝时期的发展

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1、上元积年的研究和其在魏晋南北朝时期（220-589）的发展南京大学天文系史群摘要从三统历开始，中国古代的历法家都追求推算上元积年，要求日月合璧五星联珠。上元不仅是回归年、朔望月、干支年和干支日的整数倍数，同时要求是近点月、交点月和五星会合周期的倍数。在魏晋时代，各历法家所推上元积年的数值就达数万以上，随着观测精度的提高，积年数还将不断增加。为了避免或减轻这些繁复运算，某些有创新精神的历法家就进行改革。杨伟就设交会差率和迟疾差率，将交点月、近点月的因素排除在外。何承天更将五星运动的因素都排除在外，各设近距历

2、元。这些措施都是先进的，可惜未被后世历法家所采纳。第一部分上元积年的研究一．上元积年上元是古代历法所采用的一种理想历元。它通常发生在某个甲子年天正11月的甲子日半夜，此时恰好是合朔冬至时刻，也就是说它既是朔，又是冬至节气。月亮经过升交点或降交点，日月的经纬度正好相同，而且恰好是近地点或远地点。木火土水金五大行星同时汇聚在位于北方之中虚宿之内的冬至点。“当斯之际，日月五星同度，如合璧连珠然。”2“太初上元甲子夜半朔旦冬至时，七曜皆会聚斗、牵牛分度，夜尽如合璧连珠也。”3从上元到编历年份的年数叫作积年，通称上

3、元积年。“昔人立法，必推求往古生数之始，谓之演纪上元。”4由此我们归纳上元的几个特征：（1）甲子年天正11月甲子日夜半；（2）既是朔，又是冬至；（3）日月的经纬度正好相同；（4）木火土水金五大行星同时汇聚在位于北方之中虚宿之内的冬至点。与上元有关的天文、纪年常数有：回归年、恒星年，朔望月、交点月、近点月，金木水火土五大行星的会合周期，岁名与日名的干支周期（60年）。对应上面的各个量，都可以列出一个同余方程。这样，我们总共就得到了11个同余式。2个关于地球绕太阳的公转，3个关于月亮绕地球的旋转，5个分别对应

4、五大行星绕太阳的旋转还有1个关于干支纪年法。我们令表示公元n年距上元积年，为回归年常数，为朔望月常数，分别表示：恒星年；近点月；交点月；五大行星会合周期，那么那11个同余式可以表示成其中为所求的年的干支名，是天正11月朔的日的干支名以及小余，是所求年的年终润余，上元至所求年冬至点位移，是所求年冬至时刻月亮近地点与冬至点的间距，是该年冬至时刻五大行星会合时刻的时间。二．计算上元的方法：a.中国剩余定理中国剩余定理，有叫做大衍总数术，或简称大衍术。最早出现在一本比元嘉历早的著作《孙子算经》（约400年）中，它

5、是通过物不知数的题目表现出来的。“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”该题需要解同余式组孙子给出的答案是（为整数）而将此答案推广，则是由后人秦九韶完成的。假定有一组同余式为余数，是要求的数，模数。所谓的大衍术，先确定一组定数，满足：a.；b.；c.。其中，圆括号代表最大公约数，方括号代表最小公倍数。于是，同余式组就转化成了然后，记。用大衍求一术求乘率，使得由此解得，原来的同余式的通解是其中，是待定整数，要求。剩余定理曾经被认为广泛的用于计算上元积年，然而，由于其本身的缺陷

6、，得出的答案是错误的。沈钦裴、宋景昌对《数学九章》的校正中，揭示了秦九韶的犯的错误。剩余定理在计算上元时的不妥秦九韶曾经想用《四分历》为例用大衍术求上元，但是没有成功。大衍术将问数转化成定数时，虽然可以处理并非两两互质的大量模数的问题，但是，忽视了考虑论证原同余式组和转化后的同余式组它们的解是否相同。而事实上，原同余式组有解的充要条件是对于任意的都成立。同理，转化后的同余式组有解的充要条件也是一样的，对任意的都成立。显然，由于，所以是恒有解的。但是却不一定成立，也就是说，原同余式组不一定有解。通过上述的陈

7、述，我们可以作出结论，秦九韶的中国剩余定理不是中国历史上最主要的计算上元积年的方法，在它之外，一定存在另一种独立的算法。b.演纪术一行的《大衍历》最早使用了演纪上元一词。唐宋历法沿用。前提条件是已经用调日法确定基本常数，如回归年、朔望月，建立起了方程式规定上式所有余数的范围作为将来调整用。对于方程组中的第一个方程，它的意义是以甲子为上元，直接将它代入第二个方程，调整第一个方程的余数，使第二个方程有解。然后再将解代入第三个方程式，调节第二个方程的余数，是第三个方程有解，……就这样下去，一直到所有的同余式都接

8、出来为止。一旦有一步，某个同余式的余数在可调节的范围内不存在适合的数，这说明，由调日法所得的各个常数还不够精确，应当重新调日，重新构建同余式组。如果最后同余式组的解满足，则上元随之确定。但如果不满足不等式，则需重新调日法，从头再来。大衍术与演纪术的比较事实上，演纪术的算法来自《数学九章》。因为演纪术是以代入法求解问题，所以，如果一旦知道求解同余式，理论上就可以一步一步地解除任意同余式组。上式可解的充要条件是，有了这个关系作为判