选修1-2综合法和分析法第2课时

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1、第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法(二)〖课前准备〗【课型】新授课【课时】1教时【课标要求】1.知识与能力了解分析法的思考过程和特点；会运用分析法证明数学命题．了解直接证明的两种基本方法－分析法和综合法．2.过程与方法结合已学过的数学证明演示分析法的思考过程与特点，认识到分析法在数学思考中的重要作用，培养和提高学生的逻辑证明的能力．3.情感态度与价值观通过分析法的学习，促使学生形成缜密地思考与逻辑思维能力，养成理性、严谨、一丝不苟的科学品质．【重点.难点】重点：了解分析法的思考过程和特点；运用分析法证明数学命题．难点：对

2、分析法的思考过程和特点的概括．【教学用具】多媒体.〖教学过程〗一、复习引入：【问题】综合法的思考过程和特点是什么？【学生回答】略．【教师总结】用Ｐ表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Ｑ表示要证明的结论，用综合法证明不等式的思考过程是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法．【问题】有没有一种“执果索因”的证明方法呢？【回答】有，当题目中的条件不容易往下推导的时候，往往我们选择另一种证明方法：分析法．二、新课讲授【引例】如何证明基本不等式【回顾】在讲不等式这一章的时候已经讲过证明过程，

3、是从结论出发，最后找到一个恒成立的式子．【证明】为了证明只需证只需证只需证　　因为显然成立，所以原不等式成立．上面这种证明方法就是分析法．【定义】分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）．这种证明的方法叫做分析法．【解释】用Ｑ表示要证明的结论，则分析法证明的思考过程是：分析法的思维特点是：执果索因．分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真而已知A为真，

4、故命题B必为真【例４】求证．【分析】从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．【证明】因为都是正数，所以为了证明，只需证明，展开得，即证即证．因为显然成立，所以成立．即证明了．【点评】在本例中，如果我们从“21<25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论．但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难．【例5】如图2.2-2所示，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证AF⊥SC.【分析】本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定

5、如何在证明中使用它们，因而用综合法比较困难．这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件．　　在立体几何中，通常可以把证明两条直线互相垂直的问题，转化为证明直线与平面垂直的问题．本例中，可以考虑证AF⊥平面SBC或证SC⊥平面AEF.要证AF⊥平面SBC,需要证AF⊥SB,AF⊥BC成立；要证SC⊥平面AEF，需要证SC⊥AE，SC⊥EF成立．而已知条件“过E作SC的垂线，垂足为F（转化为符号语言就是EF⊥SC）”已经满足了SC⊥AEF所需要的两个条件中的一个，因此可以朝证明SC⊥平面AEF这个方向努力．【证明】分析法：要证AF⊥SC

6、，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC　，只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．所以，AF⊥SC．综合法：∵SA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴SA⊥BC．∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．∵AE平面SAB，∴BC⊥AE．又∵AE⊥SB,SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC．∴AE⊥SC.∵EF⊥SC,EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF，∴SC⊥AF,即AF⊥SC．【总结】立体几何证明是一个重点也是一个难点，在分析过程中会产生一些困难．我们可以先从条件分

7、析，转化得到中间结论．中间结论和结果还是没有直接关系，再从结果出发寻找中间结论，使之联系起来．【思考】请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点．回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识．【回答】综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”．事实上，在解决问题时，我们经常用分析法来把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q＇；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P＇．若由P＇可以推出Q＇成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．【例６】已知，且①②求证：【分析】比较已知条件和结论，发现结论中没有出现

8、角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由①2一2×②得