号,向量在证明几何题中的应用.作者：数-木巴热克·西克热木,指导老师;麦麦提依明。克日木,成绩;

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文向量在证明几何题中的应用学生姓名：木巴热克·西克热木学号：20040101004系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2004-3班指导教师：麦麦提依明·克日木完成日期：2009年5月12日15学士学位论文BACHELOR’STHESIS摘要在本文中主要介绍几种用向量法来证明几何问题的方法。并说明这种方法在解题中的应用和重要性。关键词：向量；向量的线性运算；共线向量；数量积；向量积15学士学位论文BACHELOR’STHESIS目录

2、摘要1引言11.向量的线性运算在解题中的应用12.共线点问题23.共点线问题34.共面问题55.向量的数量积在解题中的应用76.向量的向量积在解题中的应用97.三向量的混合积在解题中的应用11参考文献13致谢1415学士学位论文BACHELOR’STHESIS15学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言向量在数学和物理中的应用很广泛的一个概念。利用向量解决一些相关数学问题将大大减少解决步骤，大多数问题用向量来解决往往解法简单明快，尤其是用向量法解决三线共点，三点共线等问题比较方便。总之，许多几何证明题用向量法来解间单明快。1

3、.向量的线性运算在解题中的应用向量的加法，减法，数乘向量统称为向量的线性运算。与向量有关的任何问题都有向量的线性运算。用向量的线性运算解决问题时，必须注意向量的方向。例1：证明顺次连结四边形各边的中点必成一个平行四边形。证明：如图（1-1）分别为四边形的四边的中点，连结则所以因此且四边形为平行四边形.例2：证明连结三角形两边中点的线段平行第三边且等于第三边的一半。证明：如图(1-2)设两边之中点分别为则15学士学位论文BACHELOR’STHESIS故且2.共线点问题共线点问题是指：三个或三个以上的不同点都在同一条直线上，那么称这些

4、点为共线。解决此类问题往往用两个向量与共点的充要条件为或两个向量共线的充要条件是或两个向量与共线的充要条件是来解决。例3：过抛物线焦点的直线交抛物线上的两点。点是在抛物线上的准线上，且。证明直线过原点。证明：要证明直线过原点与共线，设从条件知道15学士学位论文BACHELOR’STHESIS因为三点共线所以化简得或。。在一条直线上。所以直线是过原点。3.共点线问题共点线是指：两个或两个以上的不同直线都相交于同一点，那么称这些直线为共点线。解决此类问题往往用下列两种方法。欲证三直线共点，可通过下列方法来证明：(1).在三线上取三点，去

5、证这三点关于某定点由相同的定位向量。(2).如令交于，去证点关于某定点由相同的定位向量。例4：平行六面体的四条对角线及四对对棱中点线共八条，证它们必共点。证：如图（3-1），设平行六面体的一组对菱的中点为15学士学位论文BACHELOR’STHESIS且连线中点为，其他三组对棱中点连线的中点为再设则同理这说明四点重合，最后设的中点依次为则同理这说明八点重合，于是命题得证。4.共面问题如果一组向量都与一平面平行则称它们是共面的。这组向量就叫做共面向量。解决此类问题往往用向量的共面条件，如果两向量不共线则向量与向量15学士学位论文BAC

6、HELOR’STHESIS共面的充要条件是，存在不全为零的实数小使或三个向量共面的充要条件是：它们的坐标为行（列）三价行列式的值为.即推论：四个点共面的充要条件是例5：对于任何空间四边形，试证它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一个平面。证明：如图（4-1）利用多边形加法则可得又分别是的中点故有（2）将（2）代入（1）中两式相加得即与共面。与平行于一个平面。15学士学位论文BACHELOR’STHESIS例6：平面栽空间四边形的各边与点如图（4-2）证明。证明：设建立仿射坐标系则令再令则由于四点共面，所以将第列乘以加到第四列

7、得化简得即。5.向量的数量积在解题中的应用向量的数量积是:两个向量的模和它们夹角的余弦之积叫做向量和15学士学位论文BACHELOR’STHESIS的数量积，记作即。用数量积可以解决两个线段相等，两角相等。两条直线垂直等问题。要证明两个线段相等，先把两个线段改为两个向，然后去证明这两个向量数量平方相等。用数量积证明两角相等，多采用计算角度的方法去解。用数量积证明垂直问题的一般步聚为：欲证量线段（或直线）垂直，可将此两线段改为两个向量，然后证这两个向量的数量积为零，积或那么或那么。欲证直线与平面垂直，可在直线上配置一个非零向量，在平面

8、上配置不共线向量和，去证和即可达到目的，或平面的法向量平行于向量。例7：如图（5-1）在正方体中分别是的中点。证明：面面。证明：建立空间直角坐标系设正方体的菱长为，则如15学士学位论文BACHELOR’STHESIS又设平面的法向量分