高中数学必修4 三角函数的最值问题

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1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com三角形中的最值问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明：例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（）A．∏/4B.∏/3C.∏/6D.正弦值是1/3的锐角解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csinα和c

2、cosα，故L=c+csinα+ccosα=c+1.414csin(α+∏/4)∵0<α<∏/2∴当α+∏/4=∏/2时，Lmax=c+1.414c故选A解法2.设两条直角边为a,b,周长为L，则斜边c=是定值。L=a+b+≤+=(+1)(当且仅当a=b时取等号)即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏/4从而选A.例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为.方法Ⅰ.（三角函数的有界性）设该直角三角形的斜边是c，一个锐角是A，面积是S，则两条直角边是csinA和ccosA，根据题意csinA+ccosA+c=1,即c=①S=csinA*ccosA=si

3、n2A≤(当且仅当A=∏/4时取等号)金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com把A=∏/4代入①得c=∴S=*()=例3．已知圆o的半径是R，在它的内接⊿ABC中，有2R(sinA-sinC)=(a-b)sinB成立，求⊿ABC的面积S的最大值。解：根据题意得：2R(-)=(a-b)*化简可得c=a+b-ab,由余弦定理可得：C=45,A+B=135S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135-A)=(sin(2A+45)+1∵0

4、时，S取得最大值。点评：（1）.对三角形面积S的表达式得处理，也可利用积化和差公式，但这一公式在新教材中已不作要求。（2）.利用余弦定理或正弦定理化角为边体现了化归转化思想。例4．在⊿ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=,且＝（1）求B和b的值（2）求⊿ABC面积的最大值解：由已知＝，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com即sin(B+C)=2sinAcosB∵A+B+C=∏∴sinA=2sinAcosB∵sinA≠0∴cosB=∴B=

5、60∵R=,∴b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9＝a+c-2accos60∴9＋ac=a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=∴三角形得面积的最大值是练习：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则C的取值范围是（答案：解法1.由a=2,c=1,∴a=2c∴2sinA=4sinC∴sinC=sinA≤∵0