三角函数的最值问题初探

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3、。三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种：一、正弦函数y=a+bsinx(xR)的最值。例1：求y=sin6x+cos6x的最值。解：y=(sin2x+cos2)(sin4x--sin2xcos2+cos4x)=(sin2x+cos2x)2--3sin2xcos2x=1--sin22x=1--(1—cos4x)=cos4x∴当x=（kz）时，有ymax=1当x=+（kz）时，有ymin=解这类的三角函数的最大值、最小值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函

4、数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式。二、形如y=asinx+bcosx及y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x(b≠0)r的最值。例2：求函数y=asinx+bcosx的最值。解：y=asinx+bcosx=sin(x+arctg)∴当x=2k+--arctg时，ymax=当x=2k+--arctg时，ymin=--例3：求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并写出函数y取最值时的x的集合。解：∵y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2∴当sin（2x+）=

5、--1时，有ymin=2--.当sin（2x+）=1时，有ymax=2+.此时有2x+=2k--,x=k--(kz)2x+=2k+,x=k+(kz)故函数y取最小值2--时x的集合是{x∣x=k--,kz}y取最大值2+时x的集合是{x∣x=k+,kz}从上而两例可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin()”的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。一、正弦的二次函数y=asin2x+bsinx+c(xz)的最值。例4：如果∣x∣≤求函数f(x)=cos2x+si

6、nx的最大、最小值。解：y=--sin2x+sinx+1=--（sinx--）2+设sinx=t得y=--（t--）2+由题设∣x∣≤.∴-≤sinx≤∴-≤t≤因为f(x)在[-，]是增函数，在[，]是减函数∴当x=-时，=当x=时，=上例就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，就可以求含三角式的二次函数的最值。但是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。二、形如y=的最值例5：求函数y=的最小值（0

7、3+2∴函数y在0