4.4平行四边形的判定

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1、精华名师辅导教学内容:平行四边形的判定【基础知识精讲】1.关于平行四边形的判定平行四边形的判定分为两大类，共有5种判定方法.用定义来判定根据平行四边形的属性，如果两组对边分别平行，可以判定它是平行四边形.用判定定理来判定，可从平行四边形性质定理的逆命题出发，来探索平行四边形的判定定理.2.关于平行四边形的判定定理平行四边形前三个判定定理的顺序与它的性质定理是对应的.判定定理1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形是根据四边形内角和定理和平行线的判定，由平行四边形定义证明的.判定定理2.两组对边相等的四边形是平行四边形，可以由判定定理1证明.判定定理3.对角线互相平分的四

2、边形是平行四边形，可根据判定定理2，分别证明两组对边所在的三角形全等从而得出两组对边分别相等.判定定理4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这个定理的证明可用平行四边形的定义或者判定定理1、2、3来证明.3.平行四边形性质及判定的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等，两角相等、可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边

3、形的定义，有时用定义判定比用其它判定定理还简单.【重点难点解析】重点：平行四边形的四个判定定理难点：平行四边形的判定和性质的灵活运用例1如图4.4-1，已知□ABCD中，EF在对角线BD上，并且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形.(用两种方法证明)分析本题考查应用平行四边形判定定理解题的能力，并考查一题多解的技能.根据题给条件及图形的实况，采用最优的证法.如连结AC，有“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证最简便.其次通过证明△ADF≌△BCE，得AF＝CE.再利用角相等证平行.从而可运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明.证明一：连结AC∵

4、四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形对角线互相平分)又∵BE＝DF，∴OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)证明二：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC(平行四边形的对边相等)∵AD∥BC(平行四边形定义)∴∠ADF＝∠CBE(两直线平行，内错角相等)∵BE＝DF(已知)∴△BCE≌△DAF(SAS)∴AF＝CE，∠1＝∠２(全等三角形对应边对应角相等)∵∠3＝∠4(等角的补角相等)∴AF∥CE(内错角相等，两直线平行)∴四边形AECF是平行四边形例2已知：如图4.4-2，四边形ABCD是平行四边形，延

5、长BA到E，延长DC到F，使BE＝DF，AF交BC于H，CE交AD于G.求△AGE≌△CHF分析本题考查综合运用平行四边形性质定理和判定定理解题的能力.根据题给条件及图形的特点，可巧妙地运用平行四边形的判定定理判定四边形AFCE和四边形AHCG是平行四边形.再运用平行四边形性质及等式性质，可以迅速地找到△AGE与△CHF全等的条件.证明一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形对边相等)又∵BE＝DF，∴BE-AB＝DF-DC，即AE＝CF.∵AECF.∴四边形AECF是平行四边形.∴AF＝EC.又∵AH∥GC，AG∥HC∴AHCG是平行四边形(平行四边

6、形的定义)∴AH＝GC，AG＝CH(平行四边形对边相等).∵AF＝EC，AH＝GC，∴AF-AH＝EC-GC，即HF＝EG.在△AGE和△CHF中，∴△AGE≌△CHF(SSS)证明二：注意证明一两次运用了平行四边形的判定定理，得到△AGE与△CHF三边对应相等的条件.如果采用角相等的条件，那么证明过程更简捷.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，AD∥BC.又∵BE＝DF，∴BE-AB＝DF-DC，得AE＝CF.∵AE∥CF，∴AFCE是平行四边形.∴∠E＝∠F(平行四边形对角相等).∵∠1＝∠B，∠B＝∠2，∴∠1＝∠2在△AGE和△CHF中，∠E

7、＝∠F，AE＝CF，∠1＝∠2∴△AGE≌△CHF(ASA)例3如图4.4-3，已知在□ABCD中，AE＝CF，M、N分别为DE、BF的中点.求证：ENFM是平行四边形.分析本题考查应用平行四边形判定定理进行判定的能力.从图形分析，要证明四边形ENFM是平行四边形，只要证明EM∥NF，因为M、N分别为DE、BF的中点，所以只要证明DE∥BF.这个条件可以从证四边形DEBF是平行四边形得到.于是证题思路畅通了.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD又∵AE＝CF，∴DF∥BE，∴DEBF是平行四边形.∴DE∥BF∵M、