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1、对于齐次方程的研究..毕业导读:若能适当地建立起有关方程(方程组)。我们不妨把这种方法称为构造方程(方程组)法。在数学中利用齐次方程解几何问题是一种非常简单、便捷的方法。思想方法,,关于齐次方程的研究。关键词:构造方程,齐次方程,方程组,思想方法对于某些数学问题,构造辅助方程,有助于对原来问题的理解,使问题在新的关系下实现转化,从而获得解决。数学中的某些问题,若能适当地建立起有关方程(方程组),则可利用方程的知识来解决。我们不妨把这种方法称为“构造方程(方程组)法”。,思想方法。。1解几何问题在解析几何中,..毕业方程是刻画
2、曲线性质的代数语言,而曲线又是描绘方程特征的图象语言,数与形的统一,使得两者浑然一体,相得益彰。本文先考察齐次方程及其相应的一元二次方程两根的几何解释,然后借助韦达定理推出几个重要结论。设为平面上一定点,若(不与重合)的坐标满足,则是方程的两根。证:将方程改写成,的坐标满足方程,即有:,而是方程的两根。据此由韦达定理可得以下结论:(1)若直线与直线的倾角互补,则由(2)若直线与直线互相垂直,则由(3)若直线与直线斜率之和为常数,则由(4)齐次方程及上述四个结论,在解(证)有关解析几何问题中有着奇特的功效。中学数学中经常会遇到
3、此类问题,例如:求直线方程、求曲线方程、求参数值、求离心率取值范围、求两相交直线夹角、求点的轨迹、求证明题等等,但有些同学掌握的不好,不会灵活运用,下面我们就以上几个问题分别进行讲解。1.1求直线方程此类问题大多是直线与曲线相交且交于两点,再配合其他条件,然后求直线方程,下面举例说明。例经过原点的直线与椭圆交于两点,若以为直径的圆恰过椭圆左焦点,求直线的方程。解:设直线的方程为,的坐标为,将椭圆方程改写为(1)将直线的方程改写为(2)由(1),(2)得整理得,由结论(2)得的方程为通过上面几题我们发现这类问题充分利用了直线方
4、程与曲线方程联立、结合的特点,然后再用齐次方程方法解题。例如题1,首先利用椭圆方程知道左焦点的坐标为,然后设直线的方程为,下面是本题的关键,先将椭圆方程改写为,再将直线的方程改写为,联立整理得到一个新方程,根据圆的知识,圆上的点到直径两端点的线段垂直,由结论(2)得,的方程为.这是一道典型的直线方程与曲线方程相结合求解析式的题,题中利用直线方程与曲线方程联立后得到的新方程求出未知数,方法巧妙,灵活,多变,不易掌握,但万变不离其宗,只要我们掌握了其中的精髓,所有问题都会变的简单起来。先将直线方程与曲线方程联立,然后用韦达定理求
5、得表达式,最后求解未知数。其实数学中的很多题都有其固定的模式,所谓的换汤不换药就是这个道理,总之,我们要掌握做题的要点,就立于不败之地了。1.2求曲线方程与求直线方程一样,此类问题大多也是直线与曲线相交,再配合其他条件,最后求曲线方程,下面举例说明。,思想方法。。例椭圆中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率为,它与直线交于两点,且,求椭圆方程。解:设椭圆方程为将直线方程嵌入椭圆方程,得整理得,由结论(2)得即(1)又,(2)由(1),(2)解得通过此题我们发现无论是求直线方程还是求曲线方程,将二者联立、结合,再用齐次
6、方程解题,将会事半功倍。上面已经具体介绍过直线方程与曲线方程联立求解,这里就不多做介绍了,唯一变化的是上面将方程联立后求的是直线方程,而这里介绍的是联立后求曲线方程,方法大同小异,无非都是联立后得到一个新的方程,然后根据已知条件求解。综上所述,在数学中利用齐次方程解几何问题是一种非常简单、便捷的方法,经过近些年的发展,现已初步形成一个体系,希望更多的人来研究、完善这一方法。这一方法的中心思想就是直线方程与曲线方程结合,联立,形成一个全新的方程,然后再根据其他条件,最后求解未知数的这么一个过程。这基本就是一个固定的模式,我们需
7、要做的就是灵活掌握这个模式,遇到不同的条件,求不同的答案都应该做到举一反三,应用齐次方程解集合问题用途广泛,包括求直线方程、求曲线方程、求参数值、求离心率取值范围、求两相交直线夹角、求点的轨迹、求证明题等等,我们应该认真学习,做到熟练掌握,灵活运用。2解代数问题2.1求值此类问题是利用齐次方程求代数式的值,下面举例说明。例设首项系数不相等的两个二次方程(1)及(2)(其中为正整数)有一公共根,求的值。解:由条件知,设是方程(1)、(2)的公共根,显然(否则)将两方程分别改写为由此知是方程的两个相异正整数根,故,若,则,若,则
8、从而通过此题我们可以看出,分别求出未知数的值,再求代数式的值。先把两个方程整理,然后根据韦达定理,求出,通过这道题我们可以看出,将齐次方程应用到解决代数问题是一种行之有效的办法,往往一道比较难解的问题,在这里会比较轻松的求出答案,我们不得不佩服齐次方程的解题能力,所以我们要更好的学习齐次方