高三第一轮复习：排列与组合

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1、教考资源网助您教考无忧一.教学内容：排列与组合二.教学目标：1.进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想.2.正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式。3.会区分项的系数与项的二项式系数。4.掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用。5.熟练掌握二项式定理的基本问题――通项公式及其应用。三.知识要点：（一）排列与组合1.排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。2.排列数的定义：

2、从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。3.排列数公式：（）4.阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定.5.排列数的另一个计算公式：=.6.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并组成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.7.组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.8.组合数公式：版权所有@中国教育考试资源网教考资源网助您教考无忧或。9.组合数的性质1：.规定：；10.组合数的性质2：＝+。（二）二项式定理1.二项式定理及其特

3、例：（1），（2）。2.二项展开式的通项公式：。3.常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性。4.二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。5.二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，.可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）版权所有@中国教育考试资源网教考资源网助您教考无忧（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）.直线是图象的对称轴

4、。（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值。（3）各二项式系数和：∵，令，则【典型例题】例1.分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）。版权所有@中国教育考试资源网教考资源网助您教考无忧解：（1

5、）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有种选法，然后其他5人选，有种选法，故排法种数为（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为；②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有种选法，其余两棒次不受限制，故有种排法，由分类计数原理，共有种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有（或用6人的排列数减去问题（

6、2）后排列数为）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻.例2.假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品。解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一

7、类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有种。版权所有@中国教育考试资源网教考资源网助您教考无忧第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有种。按分类计数原理有种。点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A、B、C，第一步先抽A、B，第二步再抽C和其余2件正品，与第一步先抽A、C（或B、C），第二步再抽B（或A）和

8、其余2件正品是同一种抽法，但在算式中算