高一数学:函数知识点总结

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1、函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同例1、下列各对函数中,相同的是()A、B、C、D、f(x)=x,例2、

2、给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A、0个B、1个C、2个D、3个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据:(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;例.(05江苏卷)函数的定义域为________________________2求函数定义域的两个难点问题例3:(1)(2)。9例4:设,则的定义

3、域为__________变式练习:,求的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;⑦利用对号函数⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。

4、主要是含绝对值函数例:1.(直接法)2.3.(换元法)4.(Δ法)5.6.(分离常数法)①②7.(单调性)98.①,②(结合分子/分母有理化的数学方法)9.(图象法)10.(对号函数)11.(几何意义)四.函数的奇偶性1.定义: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为奇函数。2.性质:①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,  y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f

5、(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1,D2,D1∩D2要关于原点对称]3.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称     ②看f(x)与f(-x)的关系l例:1已知函数是定义在上的偶函数.当时,,则当时,.2已知定义域为的函数是奇函数。(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;3已知在(-1,1)上有定义,且满足证明:在(-1,1)上为奇函数;4若奇函数满足,,则_______9五、函数的单调性1、函数单调性的定义:2设是定义在M上的函数,若f(

6、x)与g(x)的单调性相反,则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则在M上是增函数。l例:1判断函数的单调性。2函数对任意的,都有,并且当时,,⑴求证:在上是增函数;⑵若,解不等式3函数的单调增区间是________4(高考真题)已知是上的减函数,那么的取值范围是()(A)(B)(C)(D)六.函数的周期性:1.(定义)若是周期函数,T是它的一个周期。说明:nT也是的周期。(推广)若,则是周期函数,是它的一个周期l对照记忆:说明:说明:2.若;;;则周期是29l例:1已知定义在R上的奇函数f(x

7、)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为()(A)-1(B)0(C)1(D)22定义在R上的偶函数,满足,在区间[-2,0]上单调递减,设,则的大小顺序为_____________3已知f(x)是定义在实数集上的函数,且则f(2005)=.4已知是(-)上的奇函数,,当01时,f(x)=x,则f(7.5)=________5设是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足,当时⑴求证:是周期函数;⑵当时,求的解析式;⑶计算:七、反函数1.只有单调的函数才有反函数;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和

8、定义域;2、求反函数的步骤(1)解(2)换(3)写定义域。3、关于反函数的性质(1)y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;(2)y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性;(3)已知y=f(x),求f-1(a),可利用f(x)=a,从中求出x,即是f-1(a);(4)f-1[f(x)]=x;(5)若点(a,b)在y=f(x)的图象上,则(b,a)在y=f--1(x)的图象上;(

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