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1、Stirling公式的一个概率证明第16卷第1期2007年3月河南教育学院(自然科学版)JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScience)Vo1.16No.1Mar.2007Stirling公式的一个概率证明张小彩,杜红霞2(1.河南工业大学理学院,河南郑州450052;2.河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007)摘要,:利用大偏差原理给出了Stirling公式的一个概率证明.关键词:Stirling公式;大偏差原理;Legendre变换;L
2、aplace原理中图分类号:0174.12文献标识码:A文章编号:1007—0834(2007)01—0026—021引言我们知道rt!随着rt的增大,增加的非常快.例如,101=3,628,800,171=355,687,428,096,000而100的阶乘就有158位数字.因此不管是在理论上还是在实际的计算中,对阶乘函数的合适估计都将是非常重要的.下面的Stirling公式就是其中一个相当有用的工具.,(s/e)≤s!≤e(s/e).+Stirling公式在组合数学,随机图论和渐进分析中都有相当重要的
3、应用.它的证明各式各样,在大多数高等数学的教材中都会找到它的证明:一例如华罗庚…应用Euler求和公式给出了n!的渐进估计.我们知道Gamma函数和阶乘函数有很密切的关系.在这篇文章里作者从讨论Gamma函数的性质出发,利用大偏差原理给出了Stirling公式的一个概率证明.2Stirling公式的概率证明对任意的J)L∈(0,∞),记.+∞r(A)=Ie-xdxJ0由分部积分公式,一十∞r(A+1)=Ie一dJ0.+∞=一e一I+AIe-xdxJ0=AF(A)又因为AJ:(A)e-Axdfoe一d=r(
4、a+1)故而我们有J)Lr(J)L)=J)LI(Ax)edx,也即A-A+IF(A)=AIe一dx记((),A>0)为实数轴空间上的参数为A的指数分布族,即(dx)=Aedx.下面我们将证明测度族((),>O)满足大偏差原理(LDP),其速度为1/A,速率函数为=三在证明之前我们首先介绍一个着各的引理.引理2.1(Gartner—Ellis)'对任意的Y∈,测度族((),A>0)的对数矩母函数定义如下A(,,):imA~---I.gJ0.h(d)'.+∞若A是本性光滑且下半连续的,则((
5、),A>0)满足LDP,其速度为1/A,速率函数为A的Legendre变换,即,()=A'()=sup{xy—A(Y),Y∈},∈舅接下来我们计算测度族((),A>0)的对数矩母函数.A(),)::1—i+m1A1.gJ:e^^'(dx):lim÷l.gre枷一(d)J^一*A.o,收稿日期:2006—10—20作者简介:张小彩(1979一),女,河南临颍人,河南工业大学理学院教师?26?:1.+im1A1.g1^_+∞Au1一y因此嘶:,;其Legendre变换为A'()=sup{xy—A(
6、Y),YE}=.s…up.{xy—A(y)}VsuIY—A(y)}也即,州由引理2.1,((dx),A>0)满足速度为1/A,速率函数为A'的LDP.令吣={lo,g0:L,若≤0.应用Laplace原理,我们有1—i+mA1---1.gJ:e^m(f),(dI)=1im11.gJ:A^e一^dI=lim1ogA一.r(A)=sup{()一A'(),E}^—∞^=sup{log一,≥0}=一1故而lim÷logA-A+IF(A)=一1,A—'∞^由Gamma函数的性质和极限之定义,我们知道nne一"
7、.'"'=F(n+1)=n!这样就完成了Stirling公式的证明.[2】[3】[4】参考文献华罗庚.高等数学引论(第l卷第1分册)[M】.北京:科学出版社,1979:325—326.BollobasB.Mordengraphtheory.NewYork:Springer,2002:215—216.KarlinS.TaylorHM.AfirstcourB~instochasticprocesses[M】.2nded.NewYork:AcademicPress,1975:36.DemboA,Zeitouni
8、0.Largedeviationstechniquesandapplica-finns[M】.2nded.NewYork:Springer,1998:43—141.ProbabilisticProofforStirlingFormulaZHANGXiaocai,DuHongxia(d.SchoolofScience,HenanUniversityofTechnology,Zhengzhou450052,China;b.Scho
