考研数学历年真题详解

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1、第一章行列式1．（95，九题，6分）设A是n阶矩阵，满足（E是n阶单位阵，是A的转置矩阵，

2、A

3、<0，求

4、A+E

5、。【分析】由矩阵等式求抽象矩阵A+E的行列式，联想到利用此等式条件，则有两种方法：①将直接代入要计算的行列式中。②“凑”出可利用已知矩阵等式中左端的形式，再将代入计算。像这种矩阵运算与行列式计算结合考查的题型，应注意.【详解】根据有2．（96，选（5）题，3分）四阶行列式的值等于      (A)(B)     (C)       (D)【】【答】应选（D）【分析】本题是根据行列式展开定理按照第一行展开计算求解的，也可以按照拉普拉斯展开

6、定理进行计算分析，解答本题有一定的技巧性【详解】按第一行展开，原式＝故正确选项为（D）3．（99，选（4）题，3分）设A是矩阵，B是矩阵，则   （A）当m>n时，必有行列式

7、.（B）当m>n时，必有行列式

8、.   （C）当n>m时，必有行列式

9、.（D）当n>m时，必有行列式

10、.【】【答】应选（B）【分析】四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，所以最终只要判断AB是否满秩即可。本题未知AB的具体元素，因此不方便直接应用行列式的有关计算方法进行求解。【详解】因为AB为m阶方阵

11、，且当m>n时，由上式可知，，即AB不是满秩的，故有行列式

12、AB

13、=0,因此正确选项为（B）4．（04，填（5）题，4分）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则

14、B

15、=【分析】可先用公式进行简化【详解】已知等式两边同时右乘A，得，而

16、A

17、=3,于是有3AB＝6B＋A，即(3A－6E)B=A，再两边取行列式有：

18、3A-6E

19、

20、B

21、=

22、A

23、=3，而

24、3A-6E

25、=27,故所求行列式为

26、B

27、=5．（05，填（5）题，4分）设均为3维列向量，记矩阵      A=()，B＝()如果

28、A

29、=1，那么

30、B

31、=【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的

32、形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可。【详解】对矩阵B用分块技巧，有两边取行列式，并用行列式乘法公式，得所以

33、B

34、=2.6．（06，（5）题，4分）设矩阵，E为单位矩阵，矩阵B满足BA＝B＋2E，则

35、B

36、=【分析】本题为计算方阵行列式，应利用矩阵运算与行列式的关系来求解【详解】由BA＝B＋2E得                                              BA-B=2EB(A-E)=2E

37、B(A-E)

38、=

39、2E

40、

41、B

42、

43、A-E

44、=4

45、B

46、=4

47、A-E

48、-1=第二章矩阵一、矩阵运算1．（97，填（4）题，3分）设，

49、B为三阶非零矩阵，且AB＝0，则t＝【分析】由AB＝0也可推知r(A)+r(B)3，而r(B)>0。于是r(A)2,故有

50、A

51、=0t=-3.【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB=0,可见线性方程组Ax＝0存在非零解，故   二、伴随矩阵1．（05，12题，4分）设A为n()阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B，，分别为A，B的伴随矩阵，则（A）交换的第1列与第2列得（B）交换的第1行与第2行得（C）交换的第1列与第2列得（D）交换的第1行与第2行得【】【答】应选（C）【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的

52、关系以及伴随矩阵的性质尽心分析即可【详解】为书写简捷，不妨考查A为3阶矩阵，因为A作初等行变换得到B，所以用初等矩阵左乘A得到B，按已知有于是从而又因

53、A

54、=-

55、B

56、，故，所以应选（C）三、可逆矩阵1．（96，八题，6分）设，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，证明：（1）的充要条件是（2）当时，A是不可逆矩阵【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。题中是n维列向量，则是n阶矩阵且秩为1。而是一个数【详解】（1）因此因为，所以故的充要条件为（2）方法一：当时，由，有，因为故有非零解，因此

57、A

58、=0,说明A不可逆方法二：当，由，即E－

59、A的每一列均为的解，因为说明有非零解，故秩(A)

60、到第三行，再交换第一、二行两次初等变换得到的，故有【详解】是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，是将单位矩阵的第一行加到